Wir betrachten folgende Messbare Räume (X,Α) ,(Y,Β) wobei A und B σ-Algebren sind.
Auf ℝ betrachten wir die Borelalgebra B(ℝ)
Ich soll nun folgende Äquivalenzen zeigen:
a) alle Funktionen f: X → ℝ sind messbar ⇔ für die σ-Algebra A auf X gilt: A = P(X) (Potenzmenge von X)
b) alle Funktionen g: ℝ → Y sind messbar ⇔ für die σ-Algebra B auf Y gilt: B = {∅, Y}
(Hinweis bei der b) darf B(ℝ) ≠ P(ℝ) verwendet werden, ohne die Aussage beweisen zu müssen)
Nun hab ich die a) schon bewiesen, indem ich für jede Teilmenge von X die charakteristische Funktion betrachtet hab, welche messbar ist, und somit folgendes gilt: P(X)⊆A. Da nun P(X) die größte σ-Algebra auf X ist, gilt P(X)=A.
Bei der b) hab ich bisjetzt nur die Rückrichtung bewiesen indem ich folgendes Betrachtet hab:
∀C ⊆ B : g-1(C)={ x ∈ ℝ: g(x) ∈ C} ⇒
g-1(∅) = ∅ ∈ B(ℝ) , g-1(Y) = ℝ ∈ B(ℝ) ⇒ g messbar
Für die Hinrichtung hab ich leider keinen Ansatz
