Messbarkeit von Funktionen. Lösung erklären

Question

(a) Seien \( (X, \mathcal{A}):=(\{1,2,3,4\}, \sigma(\{1,3\})) \) und \( (Y, \mathcal{B}):=(\{1,2,3,4,5\}, \sigma(\{1,3\},\{2,4\})) \). Zeigen Sie:
(i) Die Funktion \( f: X \rightarrow Y \) gegeben durch
\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { falls } x \text { gerade ist }, \\ 2, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
ist \( (\mathcal{A}-\mathcal{B} \) - \( ) \) messbar.
(ii) Die Funktion \( g: X \rightarrow Y \) gegeben durch
\( g(x):=x+1 \)
ist nicht \( (\mathcal{A}-\mathcal{B} \) - \( ) \) messbar.

Lösung

(a) (i) Es gilt:
\( f^{-1}(\{1,3\})=\{2,4\} \in \mathcal{A} \quad \text { und } \quad f^{-1}(\{2,4\})=\{1,3\} \in \mathcal{A} . \)

Nach Lemma 72.3 ist \( f \) damit \( (\mathcal{A}-\mathcal{B} \) - \( ) \) messbar.
(ii) Es gilt:
\( g^{-1}(\{1,3\})=\{2\} \notin \mathcal{A} . \)

Wie kommt man auf die Lösung? Also wie setzt man die Mengen ein. Das verstehe ich nicht

Comments

Wie ist denn Messbarkeit definiert?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Messbare_Funktion

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Wem gilt dieser Kommentar?

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 \( (X, \mathcal{A}),(Y, \mathcal{B}) \) seien Messräume und \( \mathcal{B}=\sigma(\mathcal{E}) \). Dann gilt
\( f: X \rightarrow Y \text { messbar } \Longleftrightarrow \forall E \in \mathcal{E}: f^{-1}(E) \in \mathcal{A} \text {. } \)

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Das ist wohl das zitierte Lemma. Damit ist doch alles erklärt: Die Sugma Algebra für Y wird durch 2 Mengen erzeugt. Für beide wird das Urbild bestimmt, dies liegt jeweils in der Sigma Algebra für X

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Ja genau das habe ich verstanden. Aber wie komme von auf die Bestimmung des Urbildes? Also wieso ist f^-1({1,3})={2,4}?

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Hast du dir schon die Mühe gemacht, einmal hinzuschreiben, wie \(f\) überhaupt aussieht? Die Funktion hat ja nur vier Funktionswerte, die kannst du doch einfach hinschreiben und dann ablesen, was alle Urbilder sind.

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f(1)=2 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=1

Dann ist ist das Urbild von der 1 die 4 und die 2

und das Urbild von der 2 die 1 und die 3 . Oh Gott wie konnte ich das nicht sehen