Messbarkeit.von Funktionen

Question

Aufgabe: kann man zeigen, daß die exponential Funktion messbar ist.

Problem/Ansatz: Ich habe leider für beide Fragestellungen keinen Ansatz.

Ich weiß zwar daß die exponential Funktion messbar ist, ich weiß aber nicht wie ich das nachweisen kann.

Answer 1

In Analogie zu der topologischen Charakterisierung von Stetigkeit (Urbilder offener Mengen sind offen) hat man in der Maßtheorie für messbare Funktion: Urbilder messbarer Mengen sind messbar.

\(f: (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), \, x\mapsto \exp(x)\) ist also messbar, genau dann, wenn für alle \(B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)  gilt, dass \(f^{-1}(B)\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\).

Nun ist \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) natürlich viel zu groß, um jede Menge einzeln zu überprüfen. Die Überprüfung wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss.

Die Borel-Sigma-Algebra \(\mathcal{B}( \mathbb{R})\) wird durch die Topologie auf \(\mathbb{R}\) erzeugt. Ein möglicher Erzeuger ist \(\mathcal{E}=\{A\subset \mathbb{R} \, \vert \, A \text{ ist offen}\}\), also in Zeichen: \(\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}(\mathbb{R})\).

Zu überprüfen ist nun also:

Ist \(\mathcal{E}\) ein Erzeuger von \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\), so ist \(f\) messbar genau dann, wenn \(f^{-1}(E)\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) für alle \(E\in \mathcal{E}\)

Nun kommt der Clou, alles bricht nun in folgenden Fakt zusammen:

\(f\) ist stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen offen sind

Da die Exponentialfunktion auf \(\mathbb{R}\) stetig ist und \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) jeweils durch \(\sigma(\mathcal{E})\) erzeugt wird, ist die Funktion messbar. Das ist übrigens der Grund, warum jede stetige Funktion Borel-messbar ist.

Comments

Das verstehe ich jetzt so langsam. Aber es gibt da ja noch die σ Algebra, die sind dann, wenn ich das richtig sehe, von den lebesgue Borel Mengen und da gibt es dann u. a. Diese Schnittstabilitaet. Das ist dann wohl noch mal was anderes. Und da ist mir nicht klar, suf welche Funktionen ich das wie anwenden kann. Die Funktion x² ist soweit ich weiß nicht messbar.

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Aber es gibt da ja noch die σ Algebra, die sind dann, wenn ich das richtig sehe, von den lebesgue Borel Mengen und da gibt es dann u. a. Diese Schnittstabilitaet.

Diesen Satz kann ich nach mehrmals lesen nicht verstehen. Ist deine Frage, ob das für beliebige \(\sigma\)-Algebren geht?

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Ich drücke mich da vielleicht falsch aus. Es gibt ja bei den lebesgue Borel Mengen die σ Algebra, inwieweit die jetzt beliebig sein können entzieht sich zunächst meiner Kenntnis. Eine σ Algebra hat ja bestimmte Merkmale wie z. B. Schnittstabilitaet.... Eine Topologie ist so weit ich mich erinnere, die kleinste σ Algebra und dir wird es wohl in beliebigen Größen mit ihren Eigenschaften geben und diese σ Algebra, do meine ich wenigstens, müsste man auf bestimmte Funktionen anwenden können, moeglich daß ich irgendwo einen Denkfehler mache.