In Analogie zu der topologischen Charakterisierung von Stetigkeit (Urbilder offener Mengen sind offen) hat man in der Maßtheorie für messbare Funktion: Urbilder messbarer Mengen sind messbar.
\(f: (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), \, x\mapsto \exp(x)\) ist also messbar, genau dann, wenn für alle \(B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) gilt, dass \(f^{-1}(B)\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
Nun ist \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) natürlich viel zu groß, um jede Menge einzeln zu überprüfen. Die Überprüfung wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss.
Die Borel-Sigma-Algebra \(\mathcal{B}( \mathbb{R})\) wird durch die Topologie auf \(\mathbb{R}\) erzeugt. Ein möglicher Erzeuger ist \(\mathcal{E}=\{A\subset \mathbb{R} \, \vert \, A \text{ ist offen}\}\), also in Zeichen: \(\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}(\mathbb{R})\).
Zu überprüfen ist nun also:
Ist \(\mathcal{E}\) ein Erzeuger von \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\), so ist \(f\) messbar genau dann, wenn \(f^{-1}(E)\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) für alle \(E\in \mathcal{E}\)
Nun kommt der Clou, alles bricht nun in folgenden Fakt zusammen:
\(f\) ist stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen offen sind
Da die Exponentialfunktion auf \(\mathbb{R}\) stetig ist und \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) jeweils durch \(\sigma(\mathcal{E})\) erzeugt wird, ist die Funktion messbar. Das ist übrigens der Grund, warum jede stetige Funktion Borel-messbar ist.
