Polynomdiskussionen h und t als Wendepunkte möglich?

Question

Wenn wir die erste Ableitung Nullsetzen um die Nullstellen der Ersten Ableitung zu bekommen, welche uns die relativen Maxima bzw. Minima von f(x) liefern, ist klar.

Zb x1 & x2. Mit f"(x1) und f"(x2) grösser oder kleiner null überprüfen wir ob H oder T.

Dann setzen wir die Werte in f(x1) und f(x2) ein um die konkreten koordinaten der jeweiligen H bzw. T zu bekommen.

Nun setzen wir f"(x)=0 und erhalten somit möglich Wendepunkte, oder?

Daraus denke ich, dass die Wendepunkte rein theoretisch gar keine H oder Ts (Maxima oder Minima) sein können.

Ich frage um verwirrung zu vermeiden.

Answer 1

Wenn du die zweite Ableitung Null setzt, erhältst du noch nicht unbedingt Stellen von Wendepunkten. Du musst erst schauen, ob die dritte Ableitung dort ungleich Null ist. Und wenn ja, dann hast du erst einmal x_W. Nun musst du noch f(x_W) ausrechnen, um einen Punkt (x_W/f(x_W)) zu erhalten. Stellen, an denen die erste und die zweite Ableitung Null sind und die dritte ungleich Null ist, heißen Stellen von Sattelpunkten. Das sind Wendepunkte mit waagerechten Wendetangenten. Wendepunkte können niemals Hoch- oder Tiefpunkte sein.

Answer 2

> Daraus denke ich, dass die Wendepunkte rein theoretisch gar keine H oder Ts (Maxima oder Minima) sein können. 

Das ist richtig. 

An einer Wendestelle, die gleichzeitig eine Extremstelle ist, müssten sich  sowohl das Vorzeichen der Steigung als auch das Krümmungsverhalten ändern.

Beides ist gleichzeitig nicht möglich.

Möglich ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente ( f '(x_W) = 0 ) , ein sogenannter Sattelpunkt, wie z,B. (0|0) bei f(x) = x³  

Gruß Wolfgang