https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_HippokratesLösung: Summe vierer Halbkreise mit Seitenlänge als Durchmesser und eines Quadrates minus Kreis mit Diagonale als Durchmesser
Man ziehe vom Kreis mit Radius r das Quadrat mit Seitenlänge a ab. Übrig bleiben die 4 weißen Kreissegmente.
Nach Pythagoras gilt a2+a2=(2r)2⇔2a2=4r2⇔21a2=r2⇔22a=r
Der Flächeninhalt des Kreises ist also: π⋅(22a)2=2π⋅a2 Davon das Quadrat mit Flächeninhalt a2 abgezogen:
2π⋅a2−a2
Zieht man nun von den 4 Halbkreisen mit Durchmesser a die Kreissegmente ab erhält man die Möndchen. Die 4 Halbkreise haben eine Fläche von 4⋅21⋅π⋅(2a)2=2π⋅a2
Halbkreise - Kreissegmente:
2π⋅a2−(2π⋅a2−a2)=2π⋅a2−2π⋅a2+a2=a2
Die Fläche der Möndchen entspricht also der Fläche des Quadrates.