Mittelwert, und Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen mit Variable

Question

hallo zusammen,

ich habe folgende frage:

gegeben sei X(Ω)={0,1,2...}, fx(n)=c*exp(-(n+1)) , n=0,1,2,...

Bestimme c, den Mittelwert und evtuell P(X<=x)

Mit der Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt hätte ich so angefangen:

1= $$\sum _{ n=0 }^{ unendlich }{ c*exp(-(n+1)) } $$

aber dabei scheitere ich schon, den reihenwert auszurechnen

Gruß

Answer 1

Für geometrische Reihen gilt

$$\sum_{i=0}^\infty q^i =\frac{1}{1-q} \qquad \text{, für }-1<q<1 $$

Also angewandt auf die gegebene Reihe:

$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}c\cdot e^{-(n+1)}&=c\cdot\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{e}\right)^{n+1}=c\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{e}\right)^{n} - 1\right)=c\cdot\left(\frac{1}{1-\frac{1}{e}}-1\right)=\\&=\frac{c}{e-1}\end{aligned}$$

Für deine Gleichung gilt also \(c=e-1\).

Für den Erwartungswert solltest du dann $$E(X)=\frac{1}{e-1}$$ erhalten und für die Verteilungsfunktion $$ P(X\le x) = F_X(x) = 1-e^{1-x} $$[Edit: sieht so aus, als hätte ich hier ein Fehler gemacht, für \(F_X(x)=1-e^{1-(x-2)}\) scheinen die richtigen Ergebnis rauszukommen, ich schreibe nochmal ein Kommentar]

, notfalls nochmal nachfragen und deinen Ansatz posten!

Comments

Zwei kleine Fehler hatten sich eingeschlichen, \( F_X(x)=1-e^{1-(x-2)}=1-e^{-x-1}\) sollte die richtige Verteilungsfunktion sein.