Hyperbolischen Zusammenhang beweisen

Question

ich habe Messergebnisse und wenn mit Hilfe der Werte einen Graphen zeichne, sieht man einen hyperbolischen Zusammenhang aber wie beweist man das? also also es sollte 1/a^2 sein. Wie beweise ich das mathematisch?

Comments

Durch strikte Geheimhaltung der Meßpunkte, um das Nachvollziehen der Problematik anderen Forenmitgliedern nicht sinnlos zu erleichtern.

Grundsätzlich bestünde die Möglichkeit eine Funktionsgleichung anhand der Punkte zu konstruieren.

Bei Hyperbelverdacht könnte man den Mittelwert der Produkte aus den jeweiligen Punktkoordinaten bilden und nachgucken, wie gut das dann passt:

$$y = \frac M x$$

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Oh die Werte:

Abstand        Auslenkung

2.5                3

3                  2,6

4                 1,8

5                 1,35

6                 1

8                 0.4

10              0.35

14             0.2

beide in cm

Ich probiers mal danke dir^^

Auslenkung -> y

Abstand x

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scheint nicht so wirklich zu klappen hm...

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Was für ein Abstand wurde gemessen und was wurde denn ausgelenkt?

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Das ist doch völlig wurscht - wir haben eine Wertetabelle vorliegen, aus der eine Funktion modelliert werden soll.

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Ist schon seltsam, wenn der Fragesteller unbedingt der Meinung ist es sollte ein 1/r^2 Gesetz folgen.

Wenn der Fehler schon in der Annahme des Modells liegt bzw. die Messwerte stark fehlerbehaftet aufgenommen wurden ist es natürlich nicht sinnvoll weiterzumachen.

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Wir haben ein Experiment gemacht um herauszufinden, wie die Kraft sich bei zunehmendem Abstand verändert deshalb 1/r^2. Dann sind wahrscheinlich die Werte falsch^^

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Also ein Experiment das man ganz gut für die Gravitationskraft verwenden kann

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Es kann schon mal passieren, dass die Messwerte ein Stück von dem zu erwartenden Ergebnis abweichen ;).

Answer 1

Es sieht eher danach aus, dass eine fallende e-Funktion vorliegt - die Hyperbel passt nicht wirklich so toll.

In diesem Falle empfiehlt es sich die Werte zu logarithmieren und daraus ein Regressionsgerade zu basteln, um die Koeffizienten für die angenährte Funktionsgleichung zu gewinnen.

Comments

Hm, es sollte 1/r^2 sein. Wie würde man rein theoretisch bei solch einer Funktion (f(x)=1/r^2) den Zusammenhang beweisen?

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Leider ist mir grad kurz vorm Ziel das Programm abgeka....

Wenn aus physikalischen Gründen $$ f(x)= a \cdot \frac 1{x^2}$$

unbedingt gezeigt werden sollte, dann muss man die Punkte wie folgt auswerten:

$$M=\frac 1n \cdot \sum _{n=1}^n \quad ( x(P_n))^2 \cdot y(P_n) $$

Die Funktion lautet dann:

$$f(x) = \frac M {x^2}$$

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Danke für deine Hilfe! Ich bin ein Trottel deshalb muss ich fragen :D:10.7 kommt bei mir als Mittelwert raus. Könntest du das kurz überprüfen :D?

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Oh habe die Formel erst jetzt gesehen. Dachte man benutzt die Formel die wir aus der 6 kennen xD. Ich kann M doch nicht berechnen^^

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Die beste Anpassung erreiche ich mit dieser Funktion:

$$ q(x) = ℯ^{-0.31677 \, x} \cdot  ℯ^{1.88717}$$

Die Hyperbeln liegen immer zu weit weg von den Punkten.

Ich habe allerdings noch nicht probiert, die Ausreißer wegzulassen - das könnte helfen ...

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ausreißerbereinigte Funktionen siehe Anhang:

https://www.geogebra.org/m/gNve4B82

Na - welche passt am besten zu den Werten ?

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 ich habe eine Test-Wertetabelle gemacht für die Funktion f(x)=1/x

x              y

1              1

2               0.5

3                0.3333...

4                 0.25

5                  0.2

Dein Nachweis klappt nicht wirklich, oder ich mache etwas falsch... Ich glaube letzteres ist hier der Fall. Ich habe aus deiner Formel nicht ganz verstanden wie man den Mittelwert berechnet. Musst man nicht alle y-werte addieren und durch die Anzahl teilen? Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir das erklären könntest, oder jemand anderes!! Das interessiert micht wirklich...

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Also was bedeutet in dierser Formel das n und das Pn? Ich brauche nur diese Info dann könnte ich alles nochmal ausprobieren.. wäre euch sehr dankbar

EDIT: Und welchen Wert setzt man dan für x ein und y? Ich brauche das für die Arbeit kommenden Donnerstag, denn ich muss einem Nachweis liefern und nicht nur vermuten...

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Das ist doch gar nicht möglich dass wenn man aus meiner Messreihe einsetzt dann der entsprechende y-wert herauskommt für die verschiedenen x wenn man nur durch den mittelwert teilt (den ich immer noch nicht ausrechnen kann) also ist doch

y=M/x falsch das die Funktion ja y=1/x ist oder kommt da eine konstante in irgendeiner weise heraus.. ich bin extremst verwirrt

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Schönen Abend!

Du hast doch hoffentlich den Link zu den Funktionen, die ich gebaut habe, mal angesehen - oder nicht ?

Dort sind die von Dir gegebenen Punkte hinterlegt und drei Funktionstypen approximiert. Wie Du siehst, klappt die Annahme der quadratischen Hyperbelfunktion bei den ersten Punkten wenig - gegen Ende hingegen schon besser. Eine mögliche Erklärung könnten Messfehler sein. Solche Versuche sollte man mehrmals wiederholen - eine Mess-Serie ist immer zu wenig!

Die einfache Hyperbel kann kaum passen, weil sie zu langsam an die Asymptote schleicht. Da passen zwar die ersten Punkte - später wirds jedoch richtig grottig daneben. Physikalisch ist die auch nicht zu erwarten.

Die Exponentialfunktion macht hier (nach etwas manueller Kosmetik) das Rennen - die entfernteren Punkte werden jedoch zu stark vermindert. Also auch nicht das Gelbe vom Ei. Ich habe diesen Typ hergenommen, weil er in den Naturwissenschaften sehr oft recht gut die Vorgänge modelliert. Da es hier so schön passt, obwohl eine andere Funktion zu erwarten ist, läßt auf einen systematischen Fehler des Versuchsaufbaues bzw. seiner Durchführung schliessen.

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Für den Bilderbuchfall, dass eine Modellfunktion einen Versuch "ziemlich gut" beschreibt, geht es dann mit einer Fehlerrechnung weiter, mit der man aus dem "Strich" ein "Band" macht, in dem die Messwerte einigermassen liegen sollten und die nichtgemessenen, sondern interpolierten Zwischenwerte mit hinreichender Genauigkeit bzw. Wahrscheinlichkeit herauskonstruiert werden können.

Sowohl die Modellierung wie auch die Fehlerabschätzung sind eigene Künste, die in diesem Thread nicht mehr erläutert werden können.

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"y=M/x falsch, da die Funktion ja y=1/x ist oder kommt da eine konstante in irgendeiner weise heraus.."

1/x ist die Standardhyperbel - die kommt ja mal gaaanich in Frage!

M wäre der Streck/Dehnfaktor, der die Funktion multipliziert, wobei folgender "Rechentrick" gilt:
$$M \cdot \frac 1{x^2} = \frac M{x^2}$$

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Ich glaub wir reden aneinander vorbei :D. War M nicht der Mittelwert? Was ich tun soll: Ich soll anhand gegebener Funktion einen Graphen zeichnen. Dessen Funktion in diesem Fall 1/x ist. Aber wir haben bislang nur vermutet, dass es 1/x jetzt soll noch nachgewiesen werden, dass es 1/x ist. Bei einem Parabelischen Zusammenhang bildet man ja den Quotient aus y/x^2=konstante. Damit beweist man einen parabelischen Zusammenhang aber wie beweist man einen hyperbolischen Zusammenhang? Gibt es da irgendwas in der Art wie bei dem parabelischen Zusammenhang? Vielleicht y/(1/x)=kons? Also das bei allen x und y werten immer dieselbe zahl herauskommt

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Ich glaub wir reden aneinander vorbei :D

davon bin ich überzeugt, dann:

Wir haben ein Experiment gemacht um herauszufinden, wie die Kraft sich bei zunehmendem Abstand verändert deshalb 1/r².

Nun versuchst Du panisch

Dessen Funktion in diesem Fall 1/x ist.

herbeizukonstruieren ... wat den nu ???

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Bei einem Parabelischen Zusammenhang bildet man ja den Quotient aus y/x²=konstante.

Sehr verwirrend dargestellt, sachlich jedoch nicht völlig falsch. Jedenfalls hat das nicht viel mit dem Funktionsmodell $$f(x) = k \cdot \frac 1{x^2} $$ zu tun - das ist nämlich keine Parabel, wie Du unschwer aus dem bisher offenbar keines Blickes gewürdigten Link zu meinen Funktionsplots hättest entnehmen können! *grummel*

y/x²=konstante

stellen wir doch mal kurz den üblichen Regeln der Gleichungsbearbeitung folgend um:

$$  \frac y{x^2}= k  \quad  \vert \quad \cdot x^2 $$

$$  y= k  \cdot x^2 $$

DAS ist eine Parabel !!!

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Das war nur ein Beispiel mit der Parabel. Damit wollte ich dir nur verdeutlichen, worauf ich hinaus wollte. Egal, ich wünsche dir noch eine gute Nacht :D

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Ich sehe gerade, dass ich da oben etwas geschlampt habe:

$$M=\frac 1n \cdot \sum _{n=1}^n \quad ( x(P_n))^2 \cdot y(P_n) $$

müsste eigentlich

$$M=\frac 1n \cdot \sum _{k=1}^n \quad ( x(P_k))^2 \cdot y(P_k) $$

heissen - sorry for that!

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Erläuterung:

Nehmen wir an, die Funktion $$y=irgendeinekonstante \cdot  \frac 1 {x^2}$$ wird erwartet, dan können wir umstellen zu:

$$y \cdot   {x^2}=irgendeinekonstante$$

Jedes Wertepaar eines Punktes erzeugt (naturgemäß fehlerbedingt) eine andere Konstante.

Der Mittelwert aller aus den Wertepaaren gewonnenen Konstanten ergibt die Konstante für die (hoffentlich) passende Funktion, in deren erträglicher Nähe sich die Messpunkte wiederfinden lassen sollten.

Ist dem nicht so, dann ist der Versuch schief gelaufen oder die Modellierungsannahme ist falsch.