Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung

Question

Bestimmen Sie jeweils die Polarkoordinatendarstellung der folgenden komplexen Zahlen.Begründen Sie die Schritte ! 

(∗) −1 + √3*i Wäre super wenn mit sin und cos gerechnet wird. 

Answer 1

$$ −1 + √3*i $$

$$\varphi =\arctan \left(  \frac{\sqrt 3}{-1} \right)$$

$$\vert Z \vert=\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} $$

Comments

> φ = arctan(√3/(-1))

Ich denke, dein Winkel liegt im falschen Quadranten.

(vgl. meine Antwort)

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İch kann das mit tan. nicht nachvollziehen.Wie wurde es in dieser schreibweise lauten:

|z| =r

r*(cos(alpha)+i*sin(alpha)).Mit erklarung bitte wie mann auf den richtigen winkel kommt.

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Ja, und außerdem soll mit sin und cos gerechnet werden und nicht mit arctan!

Answer 2

z = −1 + √3*i = x + y*i

|z| = r = √( x² + y²) = 2

φ = arccos(x/r) = arccos(-1/2) = 2/3·π ≈ 2,094  (im Gradmaß 120°)

z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) )  = r * e^i·φ

Je nachdem, welche Form du haben willst, musst du r und φ nur noch einsetzen.

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> Mit Erklärung bitte wie man auf den richtigen Winkel kommt.

z = x + y·i 

φ = arccos(a/r)  für y ≥ 0    bzw.   - arccos(a/r) für y<0

lässt sich einfacher merken, als die Unterscheidung der Quadranten mit dem tan 

Gruß Wolfgang

Answer 3

$$ z=-1+\sqrt { 3 }i\\|z|=\sqrt { (-1)^2+\sqrt { 3 }^2 }=\sqrt { 4}=2\\z=2(-\frac { 1 }{ 2 }+\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }i)\\cos(\phi)=-\frac { 1 }{ 2 }\\sin(\phi)=\sqrt { 3 }/2,0<=\phi<=2\pi\\\phi=\frac { 2\pi }{ 3 }\\z=2{ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } } $$