Zeigen Sie, dass die Summe der Längen h_{i}, i ∈ {1, 2, 3, ...} aller Lote gleich (a*b)/(c-b) ist.

Question

Lote im rechtwinkligen Dreieck Sei \( A B C \) ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \( a \) und \( b \) und Hypotenuse \( c \). Von \( C \) aus wird das Lot auf die Hypotenuse gefällt; von dessen Fußpunkt das Lot auf \( b \), dann wieder auf \( c \) und so weiter. Zeigen Sie, dass die Summe der Längen \( h_{i}, i \in\{1,2,3, . .\} \) aller Lote gleich \( \frac{a b}{c-b} \) ist.

Hinweis: Drücken Sie die Länge der Lote mit Hilfe eines Winkels des Dreiecks aus.

Answer 1

Flächeninihalt des Dreiecks ABC ist 1/2·ab (wenn eine der Katheten als Grundseite verwendet wird) oder anders  ausgdrückt 1/2·ch₁ (wenn die Hypotenuse als Grundseite verwendet wird). Also ist

        1/2·ab = 1/2·ch₁

und somit

        h₁ = ab/c.

Das Dreieck ABC und das von h₁ und b aufgespannte Dreieck sind rechtwinklig und haben den Winkel bei A gemeinsam. Aus analogem Grund sind das  durch h₁ und b aufgespannte Dreieck und das durch h₂ und h₁ aufgespannte Dreieck ähnlich. Somit gilt

        h₂ / h₁ = b/c

also

        h₂ = h₁b/c = ab/c · b/c = a(b/c)².

Allgemein gilt

        h_i = a(b/c)ⁱ.

Summiert man alle h_i, dann bekommt man eine geometrische Reihe. Diese Reihe konvergiert, weil |b/c| < 1 ist.

Comments

Hallo oswald :),

zunächst vielen Dank für Deine Antwort!

Ich denke aber, dass die Antwort nicht der Frage entspricht.

Geseigt werden soll ja: $$∑ni=1 hi = (ab)/(c-b)$$, oder?

Und die Länge der Lote sollen ja mit Hilfe eines Winkels des Dreiecks ausgedrückt werden.

Ich denke dabei an den Kosinussatz, hab's aber noch nicht hinbekommen.

Ich weiß nicht, wie ich's zeigen kann.

Schöne Grüße,

Peter.

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∑ h_i = (ab)/(c-b)                    //Die Summe hat die Grenzen von i=1 bis n

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> ∑ h_i = (ab)/(c-b)                    //Die Summe hat die Grenzen von i=1 bis n

Nein, die Summe hat die Grenzen von 1 bis ∞. In der Aufgabenstellung gibt es kein n, dass als obere Grenze fungieren kann.

> Und die Länge der Lote sollen ja mit Hilfe eines Winkels des Dreiecks ausgedrückt werden.

Nein. Das mit dem Winkel ist ein Hinweis, der dir bei der Lösungsfindung helfen soll, denn du aber ausschlagen darfst. Es ist keine Arbeitsanweisung, an die du dich strikt zu halten hast.

Wenn du aber unbedingt mit Winkeln hantieren willst: wegen ∠CAB = ∠h₂h₁ ist cos(∠CAB) = cos(∠h₂h₁), also b/c = h₂ / h₁.