Gemeinsame Lote bestimmen mit Gauß

Question

Aufgabe:

Ich habe zwei windschiefe Geraden und zwar

$$g:=\begin{pmatrix} -1\\-2\\1\end{pmatrix}+  span \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$$ und $$h:=\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}+  span \begin{pmatrix} -2\\3\\-2 \end{pmatrix}$$

ich soll nun die gemeinsamen Lote bestimmen

Problem/Ansatz:

Ich mache das indem ich

$$\vec{aa'}=(\begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\-2\\1 \end{pmatrix}) +(λ_{1}\begin{pmatrix} -2\\3\\-2 \end{pmatrix}-λ_{1}'\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix})$$

mit dem Ergebnis

$$\begin{pmatrix} 0-2λ_{1} '-λ_{1}\\7+3λ_{1}'-2λ_{1}\\-2-2λ_{1}'-1λ_{1}\end{pmatrix}$$

berechne, dann schaue ich ob es orthogonal zu den Punkten

$$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$$ und $$\begin{pmatrix} -2\\3\\-2 \end{pmatrix}$$

und setze die Ergebnisse dann in eine Matrix und wende das Gauß-Verfahren an, nur sieht meine Matrix total blöd aus und ich habe irgendwo einen Fehler, denn ich bekomme eine 2x3 Matrix und nun bin ich mir unsicher ob das so richtig sein kann.

Answer 1

Hallo

wenn du nicht den Abstand brauchst, sondern nur eine gemeinsames Lot muss doch nur der gesuchte Vektor auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen, also Skalarprodukt 0

was soll dein aa' sein?

lul

Answer 2

Einen Senkrechten Richtungsvektor zu beiden Geraden bekommt man recht einfach mit dem Kreuzprodukt.

[1, 2, 1] ⨯ [-2, 3, -2] = [-7, 0, 7] = - 7·[1, 0, -1]