Begründen das f linear ist und ein Isomorphismus ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (14 Punkte). Betrachten Sie die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(x, x+y) \).
(i) Begründen Sie, dass \( f \) linear ist.
(ii) Bestimmen Sie
\( [v]_{\mathcal{B}_{1}}, \quad[f]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{2}}, \quad f(v) \quad \text { und }[f(v)]_{\mathcal{B}_{2}} \)
mit (geordneten) Basen \( \mathcal{B}_{1}=((1,2),(2,1)) \) und \( \mathcal{B}_{2}=((1,1),(0,1)) \) und \( v=(3,3) \).
(iii) Ist \( f \) ein Isomorphismus? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Bräuchte einen Tipp für die i) und iii). Isomorphismus ist wenn es bijektiv und linear ist?

Answer 1

i) Jede Abb., die sich in der Form Matrix mal Vektor schreiben lässt, ist automatisch linear. Finde also die Matrix zu f (hilft auch bei ii)).

iii) Ja, bijektiv muss es sein. Injektiv bedeutet z.B. \(kern\, f =\{0\}\). Kern und Bild kannst Du ja nun berechnen (siehe Deine vorige Frage).