Ist diese Abbildung ein Isomorphismus

Question

Aufgabe: Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus? Begründen SieIhre Antwort.

g: P^2(R)→R gegeben durch g(p) :=p0+p1+p2 wobeip(x) :=p0+p1x+p2x2 ∈ P2(R),
Problem/Ansatz: Kann wer sagen, welche der folgenden Eigenschaften zutrifft:injektiv, surjektiv und linear und warum?

Answer 1

Für p(x)=p0+p1x+p2x^2  und  q(x)=p0+q1x+q2x^2 gilt

 (p+q)(x) =  (po+qo) +(p1+q1) x + (p2+q2) x^2 also

g(p+q) = (po+qo) +(p1+q1) + (p2+q2)

         = g(p) + g(q)

und für alle a∈ℝ gilt entsprechend g(a*p) = a*g(p),

also ist die Abb. linear.

surjektiv ist auch klar; denn sei z∈ℝ dann ist z.B

        z = g ( z+0x+0x^2).

injektiv kann ja nicht sein, denn dann wäre es ein

Isomorphismus und das kann nicht sein, da die beiden Vektorräume

verschiedene Dimensionen ( 3 und 1) haben. Konkretes

Gegenbeispiel g( 3 +0x+0x^2) = g( 0 +3x+0x^2 = 3