Direkte Summe 2er Vektorräume ist Vektorraum

Question

K ist Körper und (V, +, *) und (W, +, *) sind zwei K-Vektorräume.

Zu zeigen: die direkte Summe W⊕V := (V x W, + *) ist ein K Vektorraum

Mir ist klar, dass es sich um eine Aufgabe handelt, in der man anscheinend nur die Definition testen soll.

Allerdings verstehe ich nicht genau, was die direkte Summe bzw. V x W hier eigentlich ist..

Wäre toll, wenn mir jemand das erklären könnte (:

Answer 1

V x W ist die Menge aller Paare (x;y) mit  x aus V und y aus W.

Die werden dann wohl so addiert:

(a;b) + (c;d)  = ( a+c ; b+d)  und Multiplikation

mit x aus K geht dann wohl so  x *(a;b) =  ( x*a; x*b).

Comments

Danke.. aber ist mir leider doch nicht so klar wie ich zeige, dass es sich um einen Vektorraum handelt..

Wie stellt man sich bei sowas am besten an..?

---

Alle Vektorraumaxiome prüfen.    siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

S1 würde in deinem Falle etwa heißen:

Seien (a;b) , (c;d) aus V x W und x aus K dann gilt

x * ( (a;b) + (c;d) )    Def von + gibt

= x * ( a+c;b+d)          Def von * gibt

=  ( x*(a+c) ; x*(b+d) )   S1 in V und W gibt

=   ( x*a+x*c ; x*b+x*d)   Def von + rückwärts gibt

=   ( x*a; x*b)   +  ( xc ; x*d)    2x Def von * rückw.

=   x*( a; b)   +  x*( c ; d) .

Und so ähnlich für alle anderen Axiome auch.