Ableitung bilden und zusammenfassen f(x)= ln(x+1)/(x+3)^3

Question

ich habe einige Probleme die Ableitung dieser Funktion zusammen zu fassen

f(x)= ln(x+1)/(x+3)^3

ich bekomme raus als Ableitung : ((x+3)/(x+1)-(3ln(x+1))/(x+6)^4

ich habe immer wieder  große Problem damit Brüche zusammen zu fassen, daher wäre eine Erklärung, mit den angewandten Regeln überaus hilfreich!!

danke

Answer 1

f(x)= ln(x+1)/(x+3)³

Das geht doch nach der Quotientenregel

(Nenner * Abl. vom Zähler  -   Zähler mal Abl. vom Nenner )   /   (  Nenner ² )

Also

(   (x+3)³  *  (x+1) ^-1   -   ln(x+1) * 3 *((x+3)²   )  /   (x+3)⁶  

=  (x+3)²   *  (   (x+3)  *  (x+1) ^-1   -   ln(x+1) * 3  )  /   (x+3)⁶  


=  (   (x+3)  *  (x+1) ^-1   -   3ln(x+1)   )  /   (x+3)⁴     Das hattest du auch, weiter ?


=    (x+3)  *  (x+1) ^-1  /   (x+3)⁴       -   3ln(x+1)   /   (x+3)⁴       



=    (x+1) ^-1  /   (x+3)³       -   3ln(x+1)   /   (x+3)⁴       

=   1 /  ( (x+1)  * (x+3)³  )     -   3ln(x+1)   /   (x+3)⁴       

Ob das wirklich eine sinnvolle Umformung ist, weiss ich auch nicht.

Falls man z.B. noch eine Ableitung braucht ist das erste

Ergebnis m.E. besser.

Answer 2

f(x)= ln(x+1)/(x+3)^3        | Potenzregeln

= ln(x+1) * (x+3)^{-3}          | Produktregel

f ' (x) = 1/(x+1) * (x+3)^{-3}  + ln(x) * (-3) * (x+3)^{-4}       | Potenzregeln

= 1/((x+1) * (x+3)^{3})  - (3 ln(x)) / ( (x+3)^{4}        | Bruchaddition

= ((x+3) - 3ln(x) (x+1)) / (( x+1)*(x+3)^4)         fertig / oder Klammern im Zähler noch auflösen.

= ( x+3 - 3xln(x) - 3ln(x)) / ( (x+1)*(x+3)^4)        | Klammern im Nenner besser stehen lassen, kann ja sein, dass man da noch weiterrechnen muss.