Grenzwert geht gegen Unendlich

Question

wir sollen beweisen dass der Grenzwert von q^n/n^k gegen Unendlich geht bei n gegen Unenldich und q >1 und k element der Natürlichen Zahlen und der Null.

Dazu sollen wir den Binomialsatz verwenden.

Also normalerweise versucht man ja zu beweisen, dass ein epsilon existiert mit dem angegebenen Grenzwert. Aber wie mache ich das bei Unendlich? Da darf ja eigenlich eben kein epsilon existieren? Aber wie beweise ich das?

:)

Comments

> dass der Grenzwert von qⁿ/n^k gegen Unendlich geht

Grenzwerte gehen nicht, Grenzwerte sind. Der Grenzwert von qⁿ/n^k ist Unendlich. Und zwar weil die Funktionswerte gegen Unendlich gehen, wenn n gegen Unendlich geht.

Answer 1

> Aber wie mache ich das bei Unendlich

Dazu gibt es eine eigene Definition, die du in deinen Unterlagen nachschlagen solltest. Falls du deine Unterlagen gerade nicht zur Hand hast, hier die Kurzfassung:

Definition (Umgebung). Sei λ>0. Eine λ-Umgebung um eine Zahl z ist ein Intervall (z-λ, z+λ). Eine punktierte λ-Umgebung um eine Zahl z ist (z-λ, z+λ)\{z}.

Definition (Grenzwert). Seien x₀, a Zahlen. Es gilt lim_x→x0 f(x) = a genau dann wenn zu jeder ε-Umgebung um a eine punktierte δ-Umgebung um x₀ existiert, dessen Bild in der ε-Umgebung liegt.

Definition (Umgebung um ∞). Sei λ>0. Eine λ-Umgebung um ∞ ist ein Intervall (λ, ∞). Eine punktierte λ-Umgebung um ∞ ist (λ, ∞)\{∞}.

Definition (Uneigentliche Grenzwerte ). Seien x₀, a Zahlen oder ∞. Es gilt lim_x→x0 f(x) = a genau dann wenn zu jeder ε-Umgebung um a eine punktierte δ-Umgebung um x₀ existiert, dessen Bild in der ε-Umgebung liegt.

> Da darf ja eigenlich eben kein epsilon existieren?

Das irgendetwas  nicht existiert reicht nicht. Man schaue sich zum Beispiel n·sin(n) an. Auch bei uneigentlichen Grenzwerten muss was existieren. Was das genau ist, sagt dir die Definition.