Alle Lösungen z e C berechnen

Question

Ich soll alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung

z² + (2 + 2i) z - 1 + 2i = 0 finden.

Meine Idee wäre, die PQ Formel zu benutzen, allerdings komm ich nicht mehr weiter.

Bisher hab ich:

z_1/2 = - 2 - 2i / 2 = -1 - i 

wegen i² = -1 hab ich also

z_1/2 = -1-i ± √1-1+1-2i

Wie rechne ich jetzt weiter, bzw. hab ich überhaupt richtig gerechnet?

Vielen Dank für Hilfe.

LG

Answer 1

Hi,

pq-Formel ist völlig richtig, konnte Dir aber teils nicht ganz folgen. Was ist denn der Unterschied zwischen der ersten und zweiten Zeile? Bei der zweiten Zeile scheint mir das Quadrat nicht berücksichtigt zu sein?

z² + (2 + 2i) z - 1 + 2i = 0   |p = 2+2i, q = -1+2i

z_(1,2) = -1-i ± √( (1+i)^2 - (-1+2i))         |(i+1)^2 = 2i

= -1-i ± √(1) = -1-i ± 1

z_(1) = -1-i+1 = -i

z_(2) = -1-i-1 = -2-i

Grüße

Answer 2

Ich soll alle Lösungen \(z ∈ ℂ\) der Gleichung

\(z^2 + (2 + 2i) z - 1 + 2i = 0\) finden.

\(z^2 + (2 + 2i) z = 1-2i\)    quadratische Ergänzung:

\(z^2 + (2 + 2i) z+(1+i)^2 = 1-2i +(1+i)^2 \)    1.Binom:

\((z +1+i)^2 = 1|±\sqrt{~~} \)

1.)

\(z +1+i = 1\)

\(z_1=-i\)

2.)

\(z +1+i = -1\)

\(z_2 = -i-2\)

Comments

Warum jetzt Antwort auf Frage von 2016? Ist dir so langweilig?

lul

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Mir ist nicht langweilig. Mir ging es um eine Lösung abseits der p,q Formel.

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Hallo

di pq Formel ist doch nichts anderes als das Ergebnis der quadratischenErgänzung, auch wenn die SuS das meist vergessen haben. Und noch immer warum 2016?

lul

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Und noch immer warum 2016?

Das Jahr der Aufgabe ist mir egal.

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Jahr ist egal, Anliegen des FS ist egal, FS gar nicht mehr im Forum, alles egal. Aber "mir ging es um...".

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@nudger

Warum dieser Aufriss? Es ist ein anderer Lösungsweg und darum auch gerechtfertigt.

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Warum diese Sturheit? Aus obigen Gründen ist die Kritik gerechtfertigt.

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Auch ich finde eigentlich, dass das Bewusstsein pq Formel = quadratische Ergäntung wichtig, werde also nicht weiter rumkritteln, nur was man von uralt Aufgaben hat, der Frager hat inzwischen eine Lehre abgeschlossen oder sitzt an seiner Dr Arbeit in ...

lul

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Dieses Bewusstsein bekommt man meiner Meinung nach, wenn man weiß, dass die quadratische Ergänzung der Beweis der pq-Formel ist und diese daher nur die kürzerere und schnellere Variante ist, wenn man sie denn beherrscht.

Dieser Beweis wird nur leider in den meisten Schulen wohl nicht mehr geführt.

Es entzieht sich mir jedenfalls jeder Logik, warum man bereits nach zahlreicher Kritik jede Anwendung der pq-Formel um eine Anwendung der quadratischen Ergänzung erweitern muss.

Dann möge man doch bitte auch bei der Anwendung der binomischen Formeln jedes Mal strikt jedes mit jedem multiplizieren und anschließend zusammenfassen...

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Du hast recht! Begründungen oder Beweise werden auf Schulen immer weniger, trotzdem wird die pq Formel wohl noch einmal hergeleitet, aber dann vergessen. Allerdings find ich sie kaum länger als die quadratische Ergänzung und weniger Fehlerabhängig. Wenn dann Mathe Studis im 2. Semester noch fragen ob man im komplexen die pq Formel verwenden kann ist das schon schlimm.

lul