kann mir jemand bitte mit dieser aufgabe helfen? wäre wirklich sehr sehr dankbar

Question

Wir versehen Q2 = {(x, y) : x, y ∈ Q} mit den Verknüpfungen ⊕und ⊙, definiert durch

(x,y) ⊕(a,b)=(x+a,y+b) und (x,y)⊙(a,b)=(xa+2yb,xb+ya). 

(a) Zeigen Sie, dass (Q2,⊕,⊙) ein Körper ist.

(Sie dürfen auf die Assoziativität von ⊕ und ⊙ verzichten.)

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen (x, y) ∈ Q2 der Gleichung (x, y) ⊙(x, y) = (2, 0). 

Comments

Das ist keine adäquate Überschrift.

Answer 1

Zu b) (x, y) ⊙(x, y) = (x²+2y²,xy+yx).

(x²+2y²,2xy)=(2,0) das heißt (1) x²+2y²=2 und (2) 2xy=0. Aus (2) gewinnen wir (2i) x=0 ∨ (2ii) y=0.

Für den Fall (2i) ergeben sich aus (1) 2y²=2 und dann y=±1, also die Lösungselemente (0/1) und (0/-1).

Für den Fall (2ii) ergeben sich aus (1) x²=2 und dann x=±√2, also die Lösungselemente (√2/0) und (-√2/0).

Die Lösungen der Gleichung (x, y) ⊙(x, y) = (2, 0) sind also (0/1), (0/-1), (√2/0) und (-√2/0).

Comments

Es gibt nur zwei Lösungen dieser quadratischen Gleichung.

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hj2166, kannst du das mal vorrechnen?