Auch Kante AB nicht? Bei Kante BC ist es genau das gleiche Prinzip
Wenn Du die Kanten \(AB\), \(BC\) oder \(BS\) rechnest landest Du immer beim Punkt \(B\). Denn ein Lasestrahl trifft \(B\) und \(B\) ist in jeder der Kanten enthalten.
Es fehlen aber noch die Kanten \(OA\) und \(AS\). Dort gibt es jeweils noch ein Treffer. (ich schrieb dies bereits s.o.)
Heißt also es müssten nun die anderen 7 Kanten folgen
Na ja, wenn man sich 'blind stellt' müsste man das tun. Aber Du könntest Dir auch eine Skizze machen. Und zwar nur die Projektion auf die \(x_1x_2\)-Ebene:
Du siehst hier die Szene von oben. Nach rechst geht die Richtung \(x_1\) und nach oben in der Zeichnung die Richtung \(x_2\).
Da der Parameter \(a\) nur die 'Höhe' des Strahls vorgibt, fallen in dieser Ansicht alle Geraden der Schar zu der roten Geraden zusammen. Nun sollte offensichtlich sein, dass es außer im Punkt \(B\) genau noch zwei weitere Punkte \(T_1\) (auf OA) und \(T_2\) (auf AS) im Kantenmodell gibt, die vom Laser getroffen werden. Und nur diese müssen gerechnet werden.
Noch eine Bemerkung: Wenn Du von irgendeiner der Kanten den Schnittpunkt mit dem Laser berechnest, so wirst Du in jedem(!) Fall einen Schnittpunkt erhalten. Ob der Schnittpunkt aber wirklich auf einer Kante liegt oder nicht, hängt von dem Parameter der Geradengleichung der Kantengeraden ab.
Beispiel: die Kante OA ist $$k_{OA}: \quad x = O + r\cdot(A-O) = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$In diesem Fall muss der Paraneter \(r\) zwischen 0 und 1 liegen (inklusive), damit die Kante auch getroffen wird. Liegt \(r\) außerhalb dieses Intervalls, gibt es auch keinen Treffer.
Insofern war es von Silvia ungünstig, den Parameter des Laserstrahls zu berechnen. Der muss lediglich \(\gt 0\) sein!
Überlege bitte selber, warum das so ist und klicke nochmal auf das Bild in meinem Kommentar. Dann öffnet sich Geoknecht3d und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren. So bekommst Du einen besseren Eindruck.
