Hallo :-)
Zu 1.)
Achsenschnittpunkte: Damit sind die Nullstellen (Punkte auf der x-Achse) und der Schnittpunkt auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt) gemeint.
Nullstellen:
$$ \begin{aligned} 0&=4-e^{\frac{1}{2}x}\qquad &|+e^{\frac{1}{2}x}\\e^{\frac{1}{2}x}&=4\qquad &|\ln(.)\\\frac{1}{2}x&=\ln(4)\qquad &|\cdot 2\\x&=2\cdot \ln(4)=\ln(4^2)=\ln(16)\end{aligned}$$
Schnittlunkt mit der x-Achse ist also \((\ln(16)|0)\).
y-Achsenabschnitt: \(y=f(0)=4-e^{\frac{1}{2}\cdot 0}=4-e^0=4-1=3\)
Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \((0|3)\).
Zum Zeichnen einfach eine Wertetabelle erstellen und die Werte in ein Koordinatensystem übertragen.
Zu 2.) Einfach alles in die Ansatzfunktion \(f(x)=a\cdot e^{-x}+b\) einsetzen, was man gegeben hat:
Punkt \(A(\underbrace{0}_{=x}|\underbrace{4}_{=f(x)})\): \(4=f(0)=a\cdot e^{-0}+b=a\cdot e^0+b=a\cdot 1+b=a+b\). Also \(4=a+b\).
Punkt \(B(\underbrace{1}_{=x}|\underbrace{2}_{=f(x)})\): \(2=f(1)=a\cdot e^{-1}+b=\frac{1}{e}\cdot a+b\). Also \(2=\frac{1}{e}\cdot a +b\).
Löse also nur noch dieses lineare Gleichungssystem:
\(4=a+b\)
\(2=\frac{1}{e}\cdot a +b\)
Zu 3.). Untersuche hier auf gemeinsame Schnittpunkte der gegebenen Funktionen. Betrachte also \(g(x)=f(x)\) und löse nach \(x\) auf.
