Geradenscharen mit gleichem Stützvektor immer in einer Ebene?

Question

Liebe Lounge,

stimmt es, dass Geradenscharen mit identischem Stützvektor IMMER in einer gemeinsamen Ebene liegen?

Falls ja, hat jemand einen Beweis dafür parat?

Lieben Dank!

Kombinatrix

Comments

Okay. Folgender Ansatz:

Eine beliebige Geradenschar mit festem Stützvektor lässt sich schreiben als:

g_λ: X=\( \vec{a}\)+r•(\( \vec{b} \) + λ\( \vec{c} \)), mit Parameter λ∈ℝ.

Für ein beliebiges aber festes λ ist (\( \vec{b} \) + λ\( \vec{c} \)) der Richtungsvektor der einzelnen Geraden der Geradenschar. Diese Richtungsvektoren bestehen jedoch aus einzelnen Ortsvektoren, deren Punkte alle auf der Geraden h:X=\( \vec{b} \) + λ\( \vec{c} \) liegen.

Da eine Ebene durch die Gerade h und den Koordinatenursprung eindeutig definiert ist, liegen alle Ortsvektoren der Punkte von Gerade h in der Ebene E.

Somit liegen auch alle Richtungsvektoren der Geradenschar g_λ in einer Ebene. Dies verändert sich auch nicht, wenn man die Ortsvektoren mit einem Skala multipliziert, weshalb insbesondere alle Geraden der Geradenschar g_λ in einer Ebene liegen.

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Passt das so?

Answer 1

Betrachte die Geradenschar    g_a  :

         1                     a^2
x  =   2    +     r *        3
         4                       4

Das gibt keine Ebene.

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Und was, wenn man nur lineare Parameter betrachtet?

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Wobei doch die entstehenden Geraden trotzdem alle in einer Ebene liegen oder?

Nämlich in der Ebene E: 4y-3z=-4