Aloha :)
a) Der Normalenvektor \(\vec n=(2;4;5)^T\) der Ebene steht orthogonal auf dieser. Wir müssen \(a\) also so bestimmen, dass der Richtungsvektor \(\vec v=(1;2;a)^T\) der Geraden parallel oder antiparallel zu \(\vec n\) gerichtet ist. Das ist der Fall, wenn beide Vektoren \(\vec n\) und \(\vec v\) bis auf einen konstanten Faktor gleich sein:$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2,5\end{pmatrix}$$Wir lesen daraus die Bedingung \(a=2,5\) ab.
b) Die Gerade ist parallel zur Ebene gerichtet, wenn der Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene und der Richtungsvektor \(\vec v\) der Geraden orthogonal zueinander stehen:$$0\stackrel!=\vec n\cdot\vec v=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}=2+8+5a=10+5a\implies a=-2$$
c) Den nötigen Wert für \(a\) kennen wir bereits. Er stellt sicher, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft. Wenn nun die Gerade vollständig in der Ebene liegen soll, müssen auch alle Punkt der Geraden in der Ebene liegen, insbesondere auch der Aufpunkt \((1;1;0)\) der Geraden. Wir setzen seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein, um \(b\) zu berechnen:$$2\cdot1+4\cdot1+5\cdot0=b\implies b=6$$
