Geradenschar schneidet die yz-Ebene. Geben Sie eine Gerade an auf der alle Schnittpunkte liegen.

Question

Aufgabe:

Die Geradenschar schneidet die yz-Ebene. Geben Sie eine Gerade an auf der alle Schnittpunkte liegen.

\( x =\begin{pmatrix} 3\\8\\5 \end{pmatrix}+ r* \begin{pmatrix} -4+5s\\8-20s\\-4 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Schnittpunkte der Geradenschar mit der yz-Ebene versucht auszurechnen. Da kam dann r in Abhängigkeit von s raus. Allerdings als Bruch. Nun müsste ich r ja in die Geradenschar einsetzen um die Schnittpunkte zu erhalten. Dies ist aber durch den Bruch sehr kompliziert. Ich weiß nicht ob ich komplett falsch liege bei meiner Vorgehensweise oder ob es nicht einen effizienteren Weg gibt.

Kann mir jemand vielleicht ein Schema erklären, wie man einen solchen Aufgabentyp grundsätzlich löst?

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einen effizienteren Weg

Klammer auflösen, rs=p als Parameter einer Fast-Ebene definieren und die mit der yz-Ebene schneiden

oder 1/(4-5s)=q als Parameter einer Fast-Geraden definieren.

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versuche es mal mit z = 1/2y - 5

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Was ist eine Fast-Ebene / Fast-Gerade? Und wie kommen sie auf 1/(4-5s)? Ich habe für r= -3/-4+5s

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Was ist eine Fast-Ebene / Fast-Gerade?

Damit ist gemeint, dass der Ebene eine Gerade bzw. der Geraden ein Punkt fehlt.

Ich habe für r= -3/-4+5s

Ich auch, sogar mit Klammern, also r=3/(4-5s)

Answer 1

Alle Geraden der Geradenschar liegen in einer Ebene

[3, 8, 5] + r·[-4 + 5·s, 8 - 20·s, -4]
= [3, 8, 5] + r·[- 4, 8, - 4] + r·s·[5, - 20, 0]
= [3, 8, 5] + r·[- 4, 8, - 4] + t·[5, - 20, 0]

Jetzt braucht man nur die Schnittgerade zweier Ebenen bilden

Für die yz-Ebene gilt x = 0

3 - 4·r + 5·t = 0 --> t = 0.8·r - 0.6

und damit

[3, 8, 5] + r·[- 4, 8, - 4] + (0.8·r - 0.6)·[5, - 20, 0]

und damit letztendlich

[0, 20 , 5] + r·[0, - 8, - 4]

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Vielen Dank!!