Grenzwert von Wurzelfunktion lim (x->∞) (( x *( x + a ))^{1 / 2} - x )

Question

Wie bestimme ich den Grenzwert von:

lim (x->∞) (( x *( x + a ))^{1 / 2} - x )

Answer 1

((( x *( x + a ))^{1 / 2} - x )

mit   (( x *( x + a ))^{1 / 2}  +   x ) erweitern gibt


= (( x *( x + a ))^{1 / 2} - x )* (( x *( x + a ))^{1 / 2}  +   x )    /      (( x *( x + a ))^{1 / 2}  +   x )


oben 3. binomi.


=  (( x *( x + a )) - x² )    /      (( x *( x + a ))^{1 / 2}  +   x )



=  ( x²   +   xa  - x² )    /      (( x *( x + a ))^{1 / 2}  +   x )


=    xa     /      (( x²   +  xa ))^{1 / 2}  +   x )


=   xa     /      (    (   x²  * ( 1   +  a/x ))^{1 / 2}  +   x )  



=  xa     /      (   x  * ( 1   +  a/x )^{1 / 2}  +   x )    ohne Betrag, da x positiv

=  xa     /      (   x  * (( 1   +  a/x )^{1 / 2}  +   1 )  )     kürzen


= a     /      (( 1   +  a/x )^{1 / 2}  +   1 )  ) 

Für x gegen unendlich also

a / 2 .