Inhalt Fläche Integralrechnung

Question

Ich komme absolut nicht voran bei der Aufgabe 8, bitte um Hilfe 

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y= 0    ist einfach die x-Achse.

Deine 8a) ist soweit richtig, wenn du  ₀∫³ (x² -2x) dx  = ....    schreibst .

Answer 1

Vergiss dx nicht bei deinem Integral.

y=0 ist die die Menge aller Punkte in der Ebene für die gilt y=0. Also z.B. O(0|0), P(3|0), Q(-10|0) usw. Das ergibt die x-Achse. Das y=0 brauchst du bei der Integration von 8.a) also nicht zu berücksichtigen.

Allerdings musst du die Integration aufteilen in ein Integral von 0 bis 2 und ein zweites Integral von 2 bis 3. Bei beiden Resultaten nimmst du dann den Betrag und addierst die beiden Zahlen, um zur gesamten eingeschlossenen Fläche zu kommen.

Begründung graphisch:

 ~plot~ x^2-2x; 0; x=0; x=3 ~plot~

Die eingeschlossene Fläche liegt teilweise unterhalb und teilweise oberhalb der x-Achse. Wenn du über x=2 hinweg integrierst, zählst du einen Teil der Fläche negativ und den andern positiv. Das gibt dann nicht die gesamte eingeschlossene Fläche. 

Comments

Ist der Weg richtig?

Das Ergebnis ist oder muss sein:   8/3

Ich habe aber ein Minus

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Du musst Beträge nehmen. Bei der linken Hälfte kommt das gut. Eigentlich müsste dort zu Beginn noch - ( 0^3/3 - 0^2 stehen. Die rechte Seite habe ich gestrichen und rechne die nochmals:

Rechts = | (3^3/3 - 3^2 - (2^3/3 - 2^2) |

= | 27/3 - 9 - (8/3 - 12/3) |

= | 0 - (-4/3) |

= | 4/3 |

= 4/3

Fläche_(Total) = Links+ Rechts = 4/3 + 4/3 = 8/3

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muss da aber nicht beachtet werden, welche man als erstes benutzt, also 2 oder 3

Die Regel ist doch, das man den Wert benutzt wo die Größere Zahl kommt

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Beim bestimmten Integral setzt man immer zuerst die obere und dann die untere Grenze ein.

Und bei Flächen nimmt man dann am Schluss den Betrag des Integrals.

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Irgendwas läuft hier echt schief 

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Wie gesagt musst du links nur noch den Betrag, d.h. das Minus weglassen nehmen.

Das ist das, was ich dir zu Beginn gleich in deine Rechnung reinkorrigieren konnte.

Also bei deiner Rechnung auch wieder meine blauen Betragsstriche ergänzen. (links und rechts) Ein Minus hat bei einem Mass für eine geometrische Fläche nichts verloren.

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Der Grund also, warum es 8/3 ist, weil wir nur die Fläche ja haben wollen.

Eigentlich ist die -4/3 richtig aber da wir die Flächen haben wollen ist das Vorzeichen nicht wichtig, hab ich es richtig verstanden?

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Ja. Das kannst du so sagen.

Wichtig wäre noch, dass du anhand des Graphen voraussehen kannst, ob ein bestimmtes Integral pos. oder neg. ist. Achte darauf, ob die Fläche unterhalb oder oberhalb von der x-Achse liegt, und ob die untere Grenze links oder rechts von der oberen Grenze liegt.

Für die Fläche lässt du das vielleicht vorhandene Minus dann einfach weg, wenn du zum Schluss die Betragsstriche entfernst.