Bestimme a so, dass die vom Graphen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt a hat

Question

Aufgabe:

f(x) = x^2 + 1

g(x) = (a^2 +1) * x^2

A = 4/3

Problem/Ansatz:

Ich habe erst mal die Schnittpunkte berechnet und kam dabei auf x1 = 0 und x2 = -1/(a^2)

In diesem Intervall habe ich dann die Differenz der beiden Funktionen (g(x)-f(x)) integriert und gleich den Flächeninhalt A gesetzt.

Ich komme somit auf die Gleichung

-1/(3a^2) + 1= 4/3 a^2

Hier komme ich nicht mehr weiter und weiß auch nicht ob meine Ergebnisse bis hier auch stimmen...

Answer 1

Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 1) - (a^2 + 1)·x^2 = 1 - a^2·x^2
D(x) = x - 1/3·a^2·x^3

Schnittstellen d(x) = 0

1 - a^2·x^2 = 0 --> x = ±1/a

Flächeninhalt

A = ∫ (-1/a bis 1/a) (1 - a^2·x^2) dx = 4/(3·a) = 4/3 → a = 1

Answer 2

Die Schnittpunkte sind x_1/2=±1/a.

Die Fläche zwischen den Kurven ist dann 4/(3a).

Also soll gelten 4/(3a)=4/3.

Dann muss a=1 sein.

Answer 3

Da hast du dich verrechnet.

f(x) = g(x) => x = ±1/a
Sei h(x) = f(x) - g(x):

\(\displaystyle\int\limits_{-1/a}^{1/a} h(x)\, \text{dx} = A \Longrightarrow F(1/a) - F(-1/a) = A \Longrightarrow \dfrac{2}{3a} +\dfrac{2}{3a} = A \Longrightarrow a = 1\)