Kurvenschar: Graph, Funktionswerte.

Question

Skizziere für a= 20; 24; 28 und 30 den jeweiligen Graphen, indem du die Ergebnisse aus b) nutzt und die Funktionswerte für x=0; 8 und 12 bestimmst.

Aufgabe a) wurde schon beendet, also nicht ignorieren.

Aufgabe b):

Das maximale Volumen erreicht man, wenn man 1/6 von a als x verwendet.

Formel: V_a(a/6) = 4·(a/6)³-4a(a/6)²+a^2·a/6

( b kann so gelassen werden, da man das maximale Volumen erreicht, wenn man x=a/6 verwendet.

c) bereitet mir Kopfschmerzen:

Skizziere für a= 20; 24; 28 und 30 den jeweiligen Graphen, indem du die Ergebnisse aus b) nutzt und die Funktionswerte für x=0; 8 und 12 bestimmst.

Ich weiß nicht, wie ich die Funktionswerte für x bestimmen kann und auch nicht wie ich den Graphen skizzieren kann. Wenn ich x einsetze, hat man immer noch a als Unbekannte.

Nochmal die allgemeine Formel für

V_a =4x³-4ax²+a^2x

Answer 1

a)   \(V_a(x)=4x^3-4ax^2+a^2x\)

b) maximales Volumen:

\(V'_a(x)=12x^2-8ax+a^2\)

\(12x^2-8ax+a^2=0\)

\(x^2-\frac{2}{3}ax=-\frac{a^2}{12}\)      quadratische Ergänzung:

\(x^2-\frac{2}{3}ax+(\frac{1}{3}a)^2=-\frac{a^2}{12}+(\frac{1}{3}a)^2\)     2. Binom:

\((x-\frac{1}{3}a)^2=\frac{a^2}{36}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-\frac{a}{3}=\frac{a}{6}|\)

\(x_1=\frac{a}{2}\)

2.)

\(x-\frac{a}{3}=-\frac{a}{6}\)

\(x_2=\frac{a}{6}\)

Art des Extremwertes:

\(V''_a(x)=24x-8a\)

\(V''_a(\frac{a}{2})=24\cdot \frac{a}{2}-8a=4a>0\)  Minimum

\(V''_a(\frac{a}{6})=24\cdot \frac{a}{6}-8a=-4a<0\)  Maximum  ✓

An der Stelle \(x=\frac{a}{6}\) ist das maximale Volumen.

\(V_a(\frac{a}{6})=4\cdot (\frac{a}{6})^3-4a\cdot (\frac{a}{6})^2+a^2\cdot \frac{a}{6}=\frac{2}{27}a^3\)

M\((\frac{a}{6}|\frac{2}{27}a^3)\)

c) \(V(20)(x)=4\cdot 20^3x^3-4\cdot 20 x^2+20^2\cdot x\)

\(V(20)(0)=0\)

\(V(20)(8)=4\cdot 20^3\cdot 8^3-4\cdot 20\cdot 8^2+20^2\cdot 8=...\)

\(V(20)(12)=4\cdot 20^3\cdot 12^3-4\cdot 20\cdot 12^2+20^2\cdot 12=...\)

Dann noch an der Stelle des Maximum bei \(x=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\)

\(V(20)(\frac{10}{3})=4\cdot 20^3\cdot (\frac{10}{3})^3-4\cdot 20\cdot (\frac{10}{3})^2+20^2\cdot (\frac{10}{3})=...\)

Selbiges mit \(a=24  u.s.w.\)