Aufgabe Exponentialfunktion Kurvenschar:
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{0} \) mit der Gleichung: \( f_{a}(x)=x^{2} \cdot e^{a x+a} ; x \in R ; a \in R ; a \neq 0 \). Die Graphen dieser Schar seien \( G_{2} \).
1. Gib das Verhalten der Funktionswerte von \( f_{\text {a }} \) für \( x \rightarrow \infty \) und \( x \rightarrow-\infty \) in Abhängigkeit von a an und zeige, dass kein Graph \( G_{a} \) achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse verlaufen kann. Die Tangenten an \( G_{a} \) im Punkt \( P_{a}\left(-1 \mid f_{0}(-1)\right) \) seien \( t_{a} \).
Ermittle denjenigen Parameter a, fur den die zugehorige Tangente \( t_{a} \) parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten verläuft. [a=3]
2. Zeige, dass alle Graphen der Schar auBer dem Koordinatenursprung noch einen weiteren gemeinsamen Punkt Q besitzen und gib die Koordinaten dieses Punktes an. [Q(-1|1)]
3. Weise nach, dass der Koordinatenursprung stets ein lokaler Tiefpunkt von \( G_{a} \) ist. Jeder Graph \( \mathrm{G}_{a} \), hat genau einen Hochpunkt. Emittle eine Gleichung der Ortskurve aller Hochpunkte \( \mathrm{H}_{a} \).
\( H_{a}\left(-\frac{2}{a} ; \frac{4 \cdot e^{-2}}{a^{2}}\right) \Rightarrow y=x^{3} \cdot e^{\frac{2}{c}-2} \)
4. Die Gerade \( x=t ~ (t>0) \) schneidet die x-Achse im Punkt \( R \) und \( G_{-1/2} \) im Punkt S. Der Koordinatenursprung sei O. Bestimme t für den Fall, dass der Flächeninhalt des Dreiecks \( \triangle \) ORS maximal ist. (Zusatz: Nachweis fur Maximum erbringen!) [t = 6]
5. Zeige, dass die angegebene Funktion \( \mathrm{F}_{2}(\mathrm{x}) \) eine Stammfunktion von \( f_{2}(x) \) ist.
\( F_{2}(x)=\left(2 x^{2}-2 x+1\right) \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{2 x+2} \)
Die Abszisse und die Gerade \( x=-1 \) schließen mit \( G_{2} \) im II. Quadranten eine Fläche vollständig ein. Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts.
[\( A= \frac{1}{4} \left(e^{2}-5\right) ≈ 0,597 \mathrm{FE} \)]
