P(B) ist höchstens abzählbar <=> B hat endlich viele Elemente

Question

Es sei B eine Menge. Zeigen Sie

P(B) ist höchstens abzählbar <=> B hat endlich viele Elemente

Comments

Wenn \( B \) endlich viele Elemente hat, hat dann nicht auch \( P(B) \) endlich viele Elemente, und umgekehrt?

Answer 1

Sei B abzählbar unendlich und f: B→P(B). Dann ist M := {b∈B | b ∉ f(b)} nicht im Bild von f, weil f(m) = M ⇒ m ∉ M ⇒ m ∈ M ⇒ m ∉ M. Also ist f nicht surjektiv.

Die andere Implikation ist trivial.