Ana 1 übung abzahlbar.Wie kann ich das beweisen

Question

Sei X eine beliebige Menge und

         A :={A ⊂ X : A ist höchstens oder A^c ist höchstens abzählbar}

Zeigen Sie

i).  X ∈ A

ii) Ist B ∈ A so folgt B^c ∈ A.

iii) Ist Bi ∈ A für jedes i Element N, so gilt  ∪_(i  ∈ N) Bi^c  ∈ A.

EDIT: Achtung A ≠ A .

Comments

X und A kommen in der Frage in unterschiedlicher Bedeutung vor. Kannst du das klären?

---

i).  X ∈ A

Bitte die fragestellung berichtigen!

---

Hier ist die Aufgabe 

---

EDIT: Achtung A ≠ A. Habe eines von den A oben nun fett gemacht.

A ist eine Menge von Mengen.

A ist eine Menge.

Answer 1

Hi,
$$ (1) \quad X \subset X \text{ und } X^c = \emptyset \text{ also abzählbar } \Rightarrow X \in \mathcal{A}  $$
$$ (2) \quad B \in \mathcal{A} \Rightarrow B=(B^c)^c \text{ oder } B^c \text{ abzählbar, damit gilt } B^c \in \mathcal{A} $$
$$ (3) \quad \text{Fall 1: Alle } B_i \text{ sind abzählbar } \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N} } B_i \text{ abzählbar } \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N} } B_i \in \mathcal{A} \\ \quad \quad\text{ Fall 2: mindestens ein } B_i \text{ ist nicht abzählbar } \Rightarrow \\ \quad \quad \left( \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i \right)^c = \bigcap_{i \in  \mathbb{N} } B_i^c \text{ abzählbar } \Rightarrow \\ \quad \quad \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i \in \mathcal{A} \text{ weil das Koplement abzählbar ist } $$