basis von unterraum bestimmen

Question

ich wollte untersuchen ob die Vektoren linear unabhängig sind und das Gaußverfahren hier angewandt. Komme da aber nicht richtig voran.Wie gehe ich denn hier bei der Aufgabe vor?

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Vermutung:

Ich würde untersuchen, welche Vektoren linear abhängig voneinander sind und so kann man Schritt für Schritt die Anzahl der notwendigen Vektoren reduzieren( ein Vektor lässt sich durch zwei andere darstellen, streiche diesen Vektor). Wenn keine linearen Abhängigkeiten mehr entstehen bzw. keine überflüssigen Vektoren vorhanden sind, kannst du die übrigen Vektoren als eine Basis benutzen. Es gibt unendlich viele Basen...Es muss halt am Ende ein Erzeugendensystem sein und aus linear unabhängigen Vektoren bestehen.

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Naja der betrachtete Vektorraum besteht ja nur aus diesen 5 Vektoren. Dann kann es doch nur eine Basis geben oder nicht?

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Mithilfe einer Basis kann man jeden Vektor des Raumes mithilfe einer endlichen Linearkombination darstellen. Das gilt auch für ein Erzeugendensystem, bei einer Basis wird nur noch zusätzlich gefordert, dass die Vektoren vom Erzeugendensystem linear unabhängig sind.

Bsp. Basen vom R^3:
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} , aber genauso {(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)}, {(453,0,0),(0,453,0),(0,0,453)} etc.. Wenn ich nun einen Vektor aus dem R^3 darstellen möchte, nutze ich dafür eine Linearkombination von den einzelnen Vektoren in der Basis und dabei kann ich den Koeffizienten entsprechend anpassen. Z.B.
(1,1,1)= 1/3*(3,0,0)+1/3*(0,3,0)+1/3*(0,0,3)=1*(1,0,0)+1*(0,1,0)+1*(0,0,1)=...
Das geht mit jedem Vektor aus R^3.
Es gibt also mehr als eine Basis und den Rest kannst du dir selber denken, was die unendlich vielen Basen angeht...

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Die Vektoren bei meiner Aufgabe sind linear unabhängig, da die Determinante 0 ist oder?Das würde doch aber auch bedeuten, dass die diese Vektoren bereits die Basis dieses Unterraums sind oder?

Answer 1

Hallo Simon,

Ausgangsmatrix der Spaltenvektoren:

⎡ 1   8   7  8   2 ⎤

⎢ 0  18   0  9  0 ⎥

⎢ 0   0   0  0   0 ⎥

⎢ 3   0  19  1  5 ⎥

⎣ 1   0   3  2   0 ⎦

Wenn du ohne Zeilen- und Spaltenvertauschungen den Gaußalgorithmus verwendest, erhältst du folgende Zeilenstufenform:

⎡ 1  0  0  0  -1.5 ⎤

⎢ 0  1  0  0     0  ⎥

⎢ 0  0  0  0     0  ⎥

⎢ 0  0  1  0   0.5 ⎥

⎣ 0  0  0  1    0   ⎦

Die Matrix hat offensichtlich den Rang 4 (1 Nullzeile), es gibt also maximal 4 linear unabhängige Spaltenvektoren.

[ 2, 0, 0 , 5 , 0 ]  =  -1,5 * [ 1, 0, 0 , 3 , 1 ] + 0,5 * [ 7, 0, 0 , 19 , 3 ]

ist Linearkombination der ersten 4 Spaltenvektoren der Ausgangsmatrix. Diese sind also linear unabhängig und bilden eine Basis des Unterraums.

Gruß Wolfgang

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Kannst du mir kurz aufschreiben welche Schritte du beim Gausalgorithmus gemacht hast, also wie du auf die Form unten gekommen bist.  Lösen kann ich es dann schon selbst :)

Und natürlich

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Du erhältst "völlig normal" die unteren Nullen:

⎡ 1   8   7   8      2 ⎤

⎢ 0  18   0   9    0 ⎥

⎢ 0   0   0   0      0 ⎥

⎢ 0   0  -2  -11  -1 ⎥

⎣ 0   0   0  20     0 ⎦

Damit hast du schon den Rang = 4

Eigentlich ist hier auch schon klar, dass die ersten 4 Spaltenvektoren eine Basis des Unterraums bilden.

Jetzt kannst du am einfachsten alle Zeilen (außer der dritten) durch das vordere Element  ≠ 0 dividieren

⎡ 1  8  7     8      2  ⎤

⎢ 0  1  0   0.5     0  ⎥

⎢ 0  0  0    0       0  ⎥

⎢ 0  0  1  5.5   0.5 ⎥

⎣ 0  0  0   1       0  ⎦

 und dann oberhalb der erhaltenen Einsen wieder "völlig normal" die restlichen Nullen herstellen, in dem du mit der vorletzten Zeile beginnst.

z.B.:    4. Zeile  →  -5.5 * (5.Z)  + (4.Z)     ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0,5 )

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Alles klar. Wenn es um die Basis geht: Dürfte ich z. B. auch v3 weglassen und als Basis v1 v2 v4 v5 nehmen? Denn v5 ist ja durch v1 und v3 darstellbar, die liegen also in einer Ebene. Dann ist es ja egal ob ich v1 v3 oder v5 bei der Basis weglasse oder?

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Ja, da hast du recht.

Und immer wieder gern :-)