Beweis der Konvergenz für Folge xn:=Produkt(von ak) mit a1, a2, a3, ... Zahlen mit 0 < ak < 1 für jedes k∈ ℕ.

Question

liebe Community.

Ich schlage mir gerade die Nacht mit folgender Aufgabe um die Ohren:

Sei a1, a2, a3, ... Zahlen mit 0 < ak < 1 für jedes k∈ ℕ.

Beweisen Sie, dass die folgende Folge konvergent ist

$$   xn:=\quad \prod _{ k=1 }^{ n }{ ak\quad =\quad a1\quad \cdot \quad a2\quad \cdot \quad ...\quad \cdot an }     $$

Würde mich über eure Ratschläge freuen.

Comments

Wie viele Konvergenzkriterien für Folgen kennst Du denn so?

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Majoranten-, und Quoientenkreterium? :/

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Die sind für Reihen, nicht für Folgen.

Answer 1

da alle Faktoren positiv sind,ist 0 eine untere Schranke von x_n.

Zusätzlich ist die Folge auch monoton fallend. Also konvergiert sie.