Ich komme bei dem folgenden Aufgabenteil b nicht weiter. a habe ich bereits gelöst. Kann mir jemand erklären, was ich bei ℤ/3ℤ anders machen muss.
Aufgabe: Gegeben ist ein Körper K mit den folgenden Untervektorräumen:
U = {(x,y,z) ∈ K3 | x + y + z = 0}
V = {(x,x,x) | x ∈ K}
a) Es ist zu zeigen, dass für K = ℝ gilt: K3 = U + V und U ∩ V = {0}.
b) Welche dieser Eigenschaften gilt für K = ℤ/3ℤ?
zu a:
U besteht aus der Basis ⟨(1,0,-1), (0,1,-1)⟩.
V besteht aus der Basis ⟨(1,1,1)⟩
U ∩ V:
Angenommen es gibt ein x in U ∩ V, dann erfüllt dies folgende Eigenschaften:
a,b,c ∈ ℝ
x = a * (1,0,-1) + b *(0,1,-1) = (a,b, -a-b) (weil es in U liegt)
x = c * (1,1,1) = (c,c,c) ( weil es in V liegt)
wenn man nun x = x setzt, dann erhält man, dass a = b = c = 0 gelten muss und somit der Schnitt nur den Nullvektor enthält.
U + V:
Dann erhält man eine neue Basis, die ⟨(1,0,-1), (0,1,-1),(1,1,1)⟩ lautet. Dort habe ich ebenfalls geprüft, ob die Basis linear unabhängig ist (mit a,b,c ∈ ℝ).
a * (1,0,-1) + b * (0,1,-1) + c * (1,1,1) = (0,0,0)
Dort erhält man ebenfalls als einzige Lösung a = b = c = 0.
