Wie muss ich bei diesen Aufgaben vorgehen?

Question

ich würde gerne wissen wie ich bei folgenden Aufgaben vorgehen muss. Ich hab von der Polynomfunktion schon mal die erste, zweite und dritte Ableitung gemacht, aber weiß jetzt nicht mehr weiter.

Muss ich bei der ersten und zweiten Aufgabe die Ableitung nehmen um das x herauszufinden?

Ich wäre für Ansätze sehr dankbar.

Answer 1

1) Steigung der Tangente = 1. Ableitung der Funktion, d.h.: f'(x)<16/3 nach x lösen

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Und bei der zweiten?

Answer 2

Hallo Lulu,

in der ganzen Aufgabe ist nur von f₁ (mit a=1) die Rede. Der Einfachheit wegen nenne ich f₁ = f

f(x) = 3x³ - 8x² + 7x - 2

1) 

f '(x) = 9·x² - 16·x + 7 < 16/3 

x ∈ ] 1/9 ; 5/3 [

2)

x ∈  ℝ \  ] 1/9 ; 5/3 [   =  ] - ∞ ; 1/9 ]  ∪  [ 5/3 ; ∞ [

3) 

Nullstellen von f

3x³ - 8x² + 7x - 2 = 0

Man sieht die Lösung  x = 1  und erhält nach Polynomdivision

x_1,2 = 1  und x₃ = 2/3

A =  _2/3∫¹ (3x³ - 8x² + 7x - 2) dx = ... =  1 / 324  

4) 

f '(x)  = 9·x² - 16·x + 7 = 0 

...

x₁ = 7/9 ;  x₂ = 1   →   H( 7/9 | 4 / 243 ) 

t:    t(x)  =  4 / 243 

5)

Eine doppelte Schnittstelle von t(x) und f(x) ist x₁ = 7/9. Dann erhältst du nach Polynomdivision durch x - 7/9 die zweite Schnittstelle  x₂ = 10/9 

Solltest du mit dem Bild schaffen:

Gruß Wolfgang

Comments

Super Dankeschön. Ich probier es mal aus.

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Ich komm aber bei der ersten auf Nullstellen von 5/3 und 1/9. und wie hast du jetzt genau die 2 gemacht?

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5/3 ist richtig, habe den Tippfehler in der Aufgabe korrigiert.

Bei der 2) hat man doch einfach ℝ  ohne die Menge bei 1)

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Ok nochmals Danke du hast mir Den Arsch gerettet und ich habe auch soweit alles herausbekommen nur bei der letzten komm ich nicht ganz klar. Könnzest du das vielleicht nochmal erklären?

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Für die Integration benötigst du als Grenzen die Schnittstellen von f und der Tangente. Du kennst schon x₁ = 7/9 ( x-Koordinate das Hochpunktes.

f(x) = t(x)

f(x) - t(x) = 0

3·x³ - 8·x³ + 7·x - 2 - 4/243 = 0

Polynomdivision:

[ Kannst du mit diesem Rechner  (mit Lösungsweg!)  selbst machen :-) ]

(3x³  -    8x²  +      7x      - 490/243) : (x - 7/9)  =  3x² - 17/3 x + 70/27  

 3x³  -  7/3x²

 —————————————————————————————————————

       - 17/3 x²    +      7x      - 490/243

       - 17/3x²  + 119/27x

       ———————————————————————————————

                          70/27x        - 490/243

                          70/27x       - 490/243

                     —————————————————

                                     0

3x² - 17/3 x + 70/27  = 0   ⇔   x = 10/9   oder  x = 7/9

x₂ = 10/9   ist also die 2. Schnittstelle.

Fläche:

A =  _7/9∫^10/9 ( t(x) - f(x) ) dx = ...  

    =  [ - 3/4·x⁴ + 8/3·x³ - 7/2·x² + 490/243·x  ]_7/9^10/9  =  1/324