Beweis, dass es eine Äquivalenzrelation ist. r = { ((a,b), (c,d) : a ∈ ℕ, b ∈ ℕ und a + d = b + c }

Question

Seien X = ℕ x ℕ und

r = { ((a,b), (c,d) : a ∈ ℕ, b ∈ ℕ und a + d = b + c }

Zeigen Sie, dass r eine Äquivalenzrelation auf N x N ist.

[Die Äquivalenzklasse von (a,b) ∈ X bezüglich r repräsentiert die ganze Zahl "a - b" .]

Answer 1

reflexiv:   für alle ( a;b) ∈ IN x IN gilt   a+b = b+a also (a;b) r ( a;b)

symm:   wenn ( a;b) r ( c;d )   also   a+d = b+c dann auch 

( c;d ) r ( a;b) denn das heißt  c+b = d+a.

transitiv entsprechend auch wieder nur die Def. anwenden.

Comments

wie beweist man die Transitivität

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(a;b) r (c;d)  und  (c;d) r ( e;f)

⇒  a+d = b+c   und   c+f = d+e

⇒  a+d = b+c  

      c+f = d+e
-----------------------   addieren

⇒   a+d+c+f   =  b+c+d+e     | - (c+d)

⇒  a+f = b+e

⇒  (a;b) r ( e;f )    q.e.d.

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was heißt dieses r

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immer in der Mitte*

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Das r war doch der Name für die Relation

r = { ((a,b), (c.....