Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf R^2 darstellt. (a, b)R(c, d) ⇔ a^2 − b^2 = c^2 − d^2 .

Question

Die Relation R ⊆ R^2 × R^2 sei definiert durch: (a, b)R(c, d) ⇔ a^2 − b^2 = c^2 − d^2 .

 a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf R^2 darstellt.

b) Geben Sie eine andere Mengenbeschreibung der Menge {(x, y) ∈ R^2 : (x, y)R(0, 0)} an.

c) Geben Sie fünf Elemente der Menge {(x, y) ∈ R^2 : (x, y)R(1, 0)} an.

Ich bin verwirt wegen ^2 und " - ", könnten Sie mir bitte helfen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Relation ist Äquivalenzrelation auf A ? Bsp. A=R^2. [a;b] ~ [c;d] <=> a^2+b^2 = c^2+d^2

Stichworte: zeigen,äquivalenzrelation

Hallöle. 

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen auf A sind. R steht für reelle Zahlen ?

a.) A=R^2. [a;b] ~ [c;d] <=> a^2+b^2 = c^2+d^2

b.) A=R^2. [a;b] ~ [c;d] <=> a*b = c*d

Die erste Angabe in den eckigen Klammern ist nur dafür da um zu zeigen, dass die gleichmächtig sind oder? Ich check irgendwie gar nicht was ich machen soll hier... 

Vllt die Relation bilden ? 

Also

R={ (a,a), (a,a), (b,b), (b,b), (c,c), (c,c), (d,d), (d,d) }

Und da kann man ja die Eigenschaften der Äquivalenzrelation erkennen ? Also transitiv, reflexiv und symmetrisch. Oder was muss ich hier machen ? :D 

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Schau mal unten bei den "ähnlichen Fragen". Bsp. https://www.mathelounge.de/487699/zeigen-sie-dass-eine-aquivalenzrelation-auf-darstellt-2-d 

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Bitte. Gern geschehen! 

b) findest du übrigens hier https://www.mathelounge.de/493762/zeigen-sie-dass-in-der-tat-eine-aquivalenzrelation-ist-a-d-b

Answer 1

(a, b)R(c, d) ⇔ a² − b² = c² − d² .

reflexiv:     Zu prüfen ist: Steht jedes Paar mit sich selbst in der Relation, also

gilt immer   (a, b)R(a, b)  und weil das  a² − b² = a² − b²  bedeutet ist es sicher erfüllt.

symmetrisch:   zeige, dass aus (a, b)R(c, d) auch (c, d)R(a, b) folgt.

Schreibe einfach für beides die Definition hin, dann siehst du es.

transitiv : zeige   (a, b)R(c, d)  und (c, d)R(e, f)  ==>   (a, b)R(e, f) .

Mit den drei Eigenschaften hast du "Äquivalenzrelation" gezeigt.

b) Mengenbeschreibung der Menge  {(x, y) ∈ R² : (x, y)R(0, 0)}

 (x, y)R(0, 0) ⇔ x² − y² = 0²  − 0²    = 0

also alle Paare mit x² − y² =0 oder eben   |x| = |y| .

Also   M =  {(x, y) ∈ R² :   |x| = |y|  }

c) Geben Sie fünf Elemente der Menge {(x, y) ∈ R² : (x, y)R(1, 0)} an.

 (x, y)R(0, 0) ⇔ x² − y² = 1²  − 0²    = 1

Damit wird es klappen

Comments

Vielen Dank, es ist  einfacher als ich dachte)

Kannst du mir vielleicht mit b und c auch helfen?

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Ja) danke noch mal. Nur um sicher zu sein, Elemente sind z.b.

(wurzel aus 5 , 2),( wurzel aus 10 , 3),also die Paare, richtig?

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Elemente sind z.b.

(wurzel aus 5 , 2),( wurzel aus 10 , 3),also die Paare, richtig?

Fall sich das auf c) bezieht, kann das sein.

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Ja, genau zu teilaufgabe c)

Answer 2

Hi,das mit den eckigen Klammern hat nichts mit der Mächtigkeit zu tun. Man liest es als ' [a, b] steht in Relation zu [c, d] '. Man könnte auch runde Klammern verwenden.Und ja, du musst die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen. Und das$$\mathbb{R} $$steht für die reellen Zahlen und nicht die von dir angegebene Menge.Beispiel:$$[3,4] \text{~} [\sqrt{25},0]$$Da:$$3^2+4^2=\sqrt{25}^2+0^2$$Fangen wir mit der Reflexivität an: Wieso gilt$$[a, b] \text{~} [a, b]? $$

Comments

Wenn ich bsp. 3,4 hab dann is ja aRb und bRc = aRc  und für a b und x jeweils [3,4] einsetzen? Also bspw. [3,4]R[3,4] ? Sorr ich checks gar nicht :D

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Du musst bedenken, dass [a, b] ein Element ist, also cRd wäre sowas wie $$[3,4] \text{~} [\sqrt{25},0]. $$Hierbei ist c=[3, 4] und d=[Wurzel 25,0].Bin mir gerade nicht sicher, ob dir das bewusst ist:)

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danke dir :-)) hast mir echt geholfen. ich schreibe mal meine lösung. ich bin mir aber unsicher ob es nur das noch mal weiter erkärt, was ich zeigen soll oder ob es wirklich die lösung ist. :D  

reflexiv, da a^2+b^2=a^2+b^2

symmetrisch, da (a^2+b^2)=(c^2+d^2)

transitiv weil (a^2+b^2)=(c^2+d^2) und (c^2+d^2)=(e^2+f^2) => (a^2+b^2)=(e^2+f^2)

passt das so?

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Bitte :) Symmetrisch muss wie folgt lauten:\( [a, b] \tilde{}  [c, d] \Leftrightarrow a^2+b^2 = c^2+d^2 \ \Rightarrow \ c^2+d^2=a^2+b^2 \Leftrightarrow [c, d] \tilde{} [a, b] \)