Relationstyp bestimmen von zweistelliger Relation

Question

Hallo

ich soll in der aufgabe angeben ob die Relation transitiv, symmetrisch oder refelxiv ist.

R:= {(x,y) ∈ ℤ x ℤ |  x * y = 1} ⊆ ℤ x ℤ            [ edit: statt G:= {(x,y) ∈ ℤ x ℤ |  x * y = 1} ]

Durch die Bedingung x * y = 1 und das es aus dem Zahlenbereich der ganzen Zahlen kommt gibt es ja nur die Möglichkeiten
(1,1)  & (-1,-1)

Deshalb würde ich sagen, dass die Relation nur reflexiv ist, da die selbe zahl immer in relation zu sich selbst steht. Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?

Answer 1

R = { (-1,-1), (1,1) }

Die Relation ist nicht reflexiv, aber symmetrisch und transitiv.

(Und Ausprobieren muss man hier gar nichts.)

Comments

Die Relation ist nicht reflexiv

Es liegt natürlich nahe, von G = ℤ auszugehen.

Aber genau genommen ist das wohl gar nicht zu beantworten, denn

wo steht explizit, dass G ≠ {  -1 , 1 }  ist ?

Vorgegeben war nur das unsinnige  G:= {(x,y) ∈ ℤ x ℤ |  x * y = 1}  ⊆ ℤ x ℤ

wobei das eine völlig überflüssige Angabe ist 

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Du hast zwei Mengen A, B. Eine Relation R ist definiert als Teilmenge des Kreuzprodukts A x B.

Das, was Du blau als überflüssig bezeichnest, ist genau wichtig hier.

Die Schreibweise \( R = \{ (a,b) \mid \dots \} \subset A \times B \) ist absolut üblich und steht genau im Einklang mit der Definition. Sie erklärt sowohl, wann Elemente in Relation stehen, als auch, aus welchen Mengen die Elemente sein müssen.

Überflüssig ist das Kreuzprodukt innerhalb der Klammern.

In diesem speziellen Fall ist damit die Grundmenge eindeutig angegeben, und damit auch die Relation.

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Mathematisch nicht logisch, aber wenn es "absolut üblich ist" soll es mir recht sein.

Danke für den Hinweis.

Hast du auch einen Link zu dieser "Definition"?

Zu meiner Uni-Zeit wäre so etwas unmöglich gewesen!

 Damals hat man aber lineare Gleichungssysteme, die man gelöst hat, indem man die Lösungsmege L = { }  bestimmt hat, auch nicht als "unlösbar" bezeichnet und damit die deutsche Sprache misshandelt obwohl es doch die (nach Wikipedia gleichwertige) Bezeichnung "erfüllbar" gibt, die dbzl. unverdächtig ist. Muss mich wohl an seltsame Launen der Mathematiker einfach gewöhnen :-) 

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Wieso ist das nicht logisch?

Du definierst, dass eine Menge aus Paaren besteht, die bestimmte Eigenschaften haben. Das ist bei Mengen auch üblich. Dieser Menge gibst Du einen Namen (links) und sagst gleichzeitig, dass sie Teilmenge einer anderen Menge ist (rechts).

Da die Menge selbst aus Paaren besteht, muss die Obermenge dazu ebenfalls aus Paaren bestehen, das zeigst Du durch das Kreuzprodukt. Mit der Eigenschaft als Teilmenge übernimmst Du für deren Elemente die Eigenschaften der Obermenge.

Alles normal, richtig und üblich. Kurz und prägnant steht alles da, was Du wissen musst.

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Tut mir leid, aber deiner Argumentation kann ich leider nicht zustimmen.

In unserem Fall  gilt auch R ⊂ { -1 ; 1 } x { -1 ; 1 }  und die Tatsache, dass man das nicht hinschreibt, begründet bestenfalls per Konvention (was ich dir gern glauben will!) nicht aber logisch, dass { -1 , 1 } nicht die Grundmenge sein kann.

Logisch ist bei  R:= {(x,y) ∈ ℤ x ℤ |  x * y = 1}  ⊆ ℤ x ℤ  das ein überflüssiger Zusatz und die Grundmenge unklar. R:= {(x,y) |  x * y = 1}  ⊆ ℤ x ℤ ändert daran lediglich, dass " ⊆ ℤ x ℤ" nicht mehr überflüssig ist.

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R ist eine Teilmenge, und das muss Du irgendwie angeben. Z x Z innerhalb der Menge definiert nur eine Eigenschaft an x oder y, genauso wie auch xy = 1. Das besagt nichts über die Obermenge aus.

Das wird doch auch oft genug gemacht: { x > 0 ..... }. Damit hast Du aber noch lange keine Grundmenge angegeben.

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Ich will dich wirklich nicht nerven (unseren kürzlichen Disput habe ich längst abgehakt und schätze dich inzwischen als guten Antwortgeber)

Deshalb meine Frage von oben:

Kannst du mir einen Link angeben, wo - zumindest sinngemäß - explizit steht,

 Definition:

R := {(x|y) | .... } ⊂ MxM  bezeichnet eine (zweistellige) Relation R auf (mit der Grundmenge) MxM   ?

Bzgl. "Alles normal, richtig und üblich. Kurz und prägnant steht alles da, was Du wissen musst" könnte ich dir dann ohne Bedenken vorbehaltlos zustimmen :-)

Was natürlich nicht heißt, dass es solch eine Definition nicht gibt, wenn du keinen Link parat hast.

Nachtrag:

Es wäre ja auch keine Misshandlung der deutschen Sprache, die ich auch "per Definition" persönlich nicht akzeptieren kann.

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Schau einfach bei Wikipedia nach, unter "Menge (Mathematik)" oder "Relation (Mathematik)". Gleich am Anfang unter "Definitionen" stehen viele Beispiele, die diese Schreibweise verwenden, dort auch ganz allgemein für beliebige Mengen \( A = {....} \subset B \), das kann man immer so machen, nicht nur bei Relationen.

Das ist aber keine Definition, sondern eher Konvention, so wie auch a,b in R, anstatt a in R und b in R oder auch a < b < c anstatt a < b und b < c, und vieles andere.

\( A = {....} \subset B \) heißt doch nicht anderes als \( A = {....} \) und \( {...} \subset B \).

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Bei Wikipedia habe ich natürlich schon lange nachgesehen :-)

Das Wort Definition im Inhaltsverzeichnis habe ich tatsächlich überlesen. Das was dann dort kommt, erfüllt aber diesen Anspruch nicht. Und bei "eher Konvention" habe ich dir ja schon ganz zu Anfang geglaubt.

Ich danke dir für deine Geduld und denke, ich sollte mir jetzt etwas Schlaf gönnen.

Ich hoffe, wir werden in Zukunft nur noch so angenehme "Gespräche" miteinander haben.

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Nur noch eine kurze Ergänzung zu innen und außen:

\( R = \{ (x,y) \in N\times N | \dots \} \subset Z \times Z \)

Das kannst Du auch schreiben als

\( R = \{ (x,y) | x,y > 0; \dots \} \subset Z \times Z \)

Du hast hier als Grundmenge Z, darfst in die Relation aber nur aus N nehmen, damit bist Du z.B. schon einmal nicht reflexiv.

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Und noch eine Ergänzung von mir (konnte doch nicht einschlafen)

Dein einfaches Beispiel

"a,b in R, anstatt a in R und b in R"   war echt gut. Darüber habe ich mir noch nie Gedanken gemacht. (Sonst hätte ich mich selbst nerven müssen :-))

Allerdings hat  a,b ∈ ℝ   auch sonst keine eigenständige Bedeutung im Gegensatz zu

A:= {(x,y) |  Bedingung }  ⊆ ℤ x ℤ

Answer 2

sie ist auch symmetrisch und transitiv.

Es gibt doch nur ein paar Fälle zum Ausprobieren.

Comments

vgl. meinen Kommentar bei migast

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@Wolfgang:

G:= {(x,y) ∈ ℤ x ℤ |  x * y = 1} ist durchaus die Definition einer Relation. Die Relation heisst einfach G und nicht R. 

Ablesen kann man das auch als 1G1 und -1G-1 . Fertig.

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Das ist keine Definition. Eine Relation ist eine Teilmenge von was denn hier?

(Siehe meinen Kommentar oben.)

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Wegen (x,y) ∈ ℤ x ℤ geht man von Teilmenge von ℤ x ℤ aus. Und da (0|0) ∉ G hat man schon einen Widerspruch zu einer der Eigenschaften.

Die Relation heisst einfach G und nicht R.