Beispiele für Projektionen mit bestimmten Eigenschaften

Question

a) Geben Sie einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V und zwei Projektionen ρ, σ ∈ Hom_ℝ(V,V) an, für die weder ρ ∘ σ  noch σ ∘ ρ eine Projektion ist und für die (ρ ∘ σ)² 6 ≠ ρ² - 2ρσ + σ2 gilt.

b) Geben Sie einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V und zwei Projektionen ρ, σ ∈ Hom_ℝ(V,V) an, für die ρ ∘ σ eine Projektion ist, σ ∘ ρ aber nicht.

Also ich soll ℝ-Vektorräume und Projektionen konstruieren, wo einmal

- die Verknüpfung der beiden Projektionen keine Projektion ist und die 2. Binomische Formel für die beiden Projektion nicht gilt

und

- die Verknüpfung der beiden Projektionen nicht kommutativ ist,

sehe ich das richtig? Würde mich über ein paar Ideen freuen und bedanke mich recht herzlich schon mal.

Comments

a) Geben Sie einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V und zwei Projektionen ρ, σ ∈ Hom_ℝ(V,V) an, für die weder σ ∘ ρ noch ρ ∘ σ eine Projektion ist und für die (ρ ∘ σ)² ≠ ρ² - 2ρσ + σ2 gilt.

b) Geben Sie einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V und zwei Projektionen ρ, σ ∈ Hom_ℝ(V,V) an, für die ρ ∘ σ eine Projektion ist, σ ∘ ρ jedoch nicht.

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Vgl. mal mit https://www.mathelounge.de/402910/beispiele-fur-projektionen-mit-bestimmten-eigenschaften Dort gibt es schon ein paar Vorüberlegungen.

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Weiß jemand, wie man weiter vorgeht?

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Natürlich sollte die Bedingung in a)  "(ρ ∘ σ)² ≠ ρ² - 2ρσ + σ^2" gelten, da sind mir zwei Tippfehler unterlaufen.

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Ist das denn exakt https://www.mathelounge.de/403255/projektionen-und-k-vektorraume  ?

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Ja tatsächlich.