Projektionen lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

a) Sei v= \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und w= \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \) und G:= { λw : λ ∈ ℝ} Bestimmen Sie die Projektion von v_w von v auf die von w aufgespannte Gerade G. Bestimmen Sie weiterhin die Matrix, die die lineare Abbildung P : ℝ³ --> G, a → a_w  darstellt. Was ist der Rang dieser Matrix? Was ist ihr Kern? Was ihr Bild?

b) (Transferfrage:) Sei E := {λ \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \) : λ ∈ ℝ}. Sei v:= \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \). Wie kann man die orthogonale Projektion von v auf E bestimmen? Welcher Vektor kommt dabei heraus?

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand helfen ???

Comments

Hallo

dein v=w also ist die Projektion auf w wieder w.

lul

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Aber wie mach ich das mit dem Bild, Kern und Rang ?

Answer 1

v_w ist ja erledigt.

Für die Matrix brauchst du die Bilder der kanonischen Basisvektoren:

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) hat als Bild \( \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0\end{pmatrix} \)

Denn das Bild liegt auf der Geraden und die Verbindung Urbild Bild  \( \begin{pmatrix} 0.5 \\ -0.5 \\ 0\end{pmatrix} \) ist orthogonal zu \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \)

Entsprechend \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) hat als Bild auch \( \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ 0\end{pmatrix} \)

und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) hat als Bild \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \).

Also ist die Matrix \( \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Das Bild ist natürlich die Gerade, hat also dim = 1 , somit rang=1

und im Kern sind alle, die auf den Nullvektor abgebildet werden, das

ist (s.o.) schon mal e₃ und  außerdem alle mit 3. Koordinate 0 und

die ersten beiden mit verschiedenen Vorzeichen, also etwa

Kern = < \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \); \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \)>.

Comments

omg dankeschön, hast mir das leben gerettet