Drehmatrizen bestimmen in verschiedenen Räumen

Question

Aufgabe:

a) Sei Dπ : R²  --> R²  die lineare Abbildung, die jeden Vektor aus R² um π dreht. Sei v := \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Stellen Sie die Matrix zu Dπ auf und bestimmen Sie Dπ(v). Bestimmen Sie
⟨v, Dπ(v)⟩.

b) Sei D : R³→ R³ die Drehung, die den Vektor (1, 0, 0)^t auf den Vektor \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)(1, 1, 1) abbildet. Bestimmen Sie die Drehmatrix, die D darstellt.

c) Sei ϕ ∈ [0, 2pi). Bestimmen Sie für die Drehmatrix  Aϕ ∈ R^2×2 und A_3,ϕ ∈ R^3×3
(Drehung um die x₃-Achse) die Determinante. Bestimmen Sie weiterhin das Produkt
A^t_ϕA_ϕ bzw. A^t_3,ϕA_3,ϕ. Was ist also die Inverse A⁻¹_ϕ bzw. A⁻¹_3,ϕ?

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen? Ich muss die bis morgen abgeben und komme nicht weiter...

Answer 1

Hallo

a) du musst nur sehen, wohin (1,0) und (0,1) gehen, das sind die Spalten der gesuchten Matrix.

c, d ) findes du z.B in wiki

Gruß lul

Answer 2

Eine Drehung benötigt auch die Angabe um welchen Fixpunkt/Fixpunktgerade gedreht werden soll. Bei b) könnte man die Drehung aus Drehungen um die Koordinatenachsen zusammen setzen, etwa

\(\small  \left\{ D_y=\left(\begin{array}{rrr}\operatorname{cos} \left( \beta \right)&0&\operatorname{sin} \left( \beta \right)\\0&1&0\\-\operatorname{sin} \left( \beta \right)&0&\operatorname{cos} \left( \beta \right)\\\end{array}\right), D_z=\left(\begin{array}{rrr}\operatorname{cos} \left( \gamma \right)&-\operatorname{sin} \left( \gamma \right)&0\\\operatorname{sin} \left( \gamma \right)&\operatorname{cos} \left( \gamma \right)&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

===>

Dy Dz u = u'

===>

\(\small  \left( \begin{aligned}\operatorname{cos} \left( \beta \right) \; \operatorname{cos} \left( \gamma \right) \\ \operatorname{sin} \left( \gamma \right) \\ -\operatorname{sin} \left( \beta \right) \; \operatorname{cos} \left( \gamma \right) \end{aligned} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right)  \)

===>

II:\(  \gamma \, :=  \, \operatorname{sin⁻^1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)

I+III:\(  \beta \, :=  \, -\frac{\pi }{4}\)

Dy Dz u = u'

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{3} \; \sqrt{3}&-\frac{1}{6} \; \sqrt{6}&-\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\\frac{1}{3} \; \sqrt{3}&\frac{1}{3} \; \sqrt{6}&0\\\frac{1}{3} \; \sqrt{3}&-\frac{1}{6} \; \sqrt{6}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right) \cdot \left( \begin{aligned}1 \\ 0 \\ 0 \end{aligned} \right)= \frac{1}{3} \; \sqrt{3} \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right) \right\} \)

Aufgrund der Konstruktion der Drehmatrizen ist die Determinante einer Drehung =1

Comments

Dankeschön, sehr ausführlich :)