Drehmatrizen (Bestimmung der Matrizen)

Question

Für i = 1,2,3 sei Xi : R3 → R3 (reelle Zahl) die Drehung um die xi - Achse um π/2 entgegen dem Uhrzeigersinn

und X^-1i die Drehung im Uhrzeigersinn.

BestimmenSie die zugehörigen Matrizen bzgl. der kanonischen Basis für jedes Xi und X^-1i. Bestimmen Sie durch  geometrische  Betrachtungen X^-11 X2 X1 undüberprüfen Sie Ihr  Ergebnis, indem Sie die Matrixmultiplikation ausführen.

Answer 1

z.B. für x1 bedenke:

Du brauchst die Bilder der kanonischen Basisvektoren bei der Drehung um die x1 - Achse:

$$\begin{pmatrix} 1\\0 \\0\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1\\0 \\0\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0\\1 \\0\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 0\\-1 \\0\end{pmatrix}$$

Die Bilder schreibst du in die Matrix

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\\end{pmatrix}$$

Comments

stimmt das für x2:

0   0   1

0  -1   0

1   0   0

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stimmt das für x2:

Nein - bei der Drehung um \(x_2\) darf sich \(x_2\) selbst nicht verändern. Die mittlere Spalte ist folglich \(\begin{pmatrix} 0& 1& 0 \end{pmatrix}^T\).

Und der Einheitsvektor in \(x_1\)-Richtung zeigt nach der Drehung um \(x_2\) anschließend in negative \(x_3\)-Richtung: