Konvergenz von Folgen und deren Grenzwerte

Question

Hallo

an sich verstehe ich das Thema, jedoch scheiter ich wieder an der richtigen Notation/Vorgehensweise bzw. dem Beweis, ob die gegebenen Folgen nun konvergieren bzw. was deren Grenzwerte sind.
Folgende Aufgaben:

i) [(-1)ⁿ⁺¹] / [wurzel(n)]
ii) (7n-1) / (3n)
iii) (2n³ -n² -n-1) / (5n³ +2n +5)
iiii) (n³ - 2) / (n+1) - (n⁴+n² ) / (n² +n-3)
v) [(-1)ⁿ⁺¹ *n] / (n+1)

Meine bisherigen Versuche :

i) ist nicht konvergent, da der Zähler quasi zwischen 1 und -1 springt, der Nenner wird immer größer, also gegen unendlich .. wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll weiß ich nicht wirklich ..

ii) ich habe n ausgeklammert und und die Folge ist konvergent mit dem Grenzwert 7/3
    (7n-1) / (3n) = n(7-1/n) / 3 = (7-0)/3 = 7/3

iii) auch wieder Schrittweise ausgeklammert, quasi wie bei ii) mit dem Ergebnis konvergent mit
      dem Grenzwert 2/5

iiii) so da bin ich mir nicht wirklich sicher ob das so geht, ich habe den gemeinsamen Nenner bestimmt,
       anschließend den Term vereinfacht und wie bei ii) und iii) das Schrittweise ausgeklammert mit dem
       dem Ergebnis, dass die Folge konvergent ist und den Grenzwert -7 besitzt ..

v) wie bei i) weiß ich das Vorgehen nicht, ..durch rumprobieren würde ich sagen das der Zähler wieder springt, diesmal aber nicht zwischen 1 und -1 sondern zwischen ∞ und -∞. Der Nenner geht ins positive unendlich ..also haben wir einen Bruch mit ∞/∞  bzw  -∞/∞. Jetzt müsste man die Regeln von l'Hospital anwenden habe ich recherchiert, aber das hatten wir in der VL noch nicht

Answer 1

i) [(-1)ⁿ⁺¹] / [wurzel(n)]
ii) (7n-1) / (3n)
iii) (2n³ -n² -n-1) / (5n³ +2n +5)
iiii) (n³ - 2) / (n+1) - (n⁴+n² ) / (n² +n-3)
v) [(-1)ⁿ⁺¹ *n] / (n+1)

Meine bisherigen Versuche :

i) ist nicht konvergent, da der Zähler quasi zwischen 1 und -1 springt, der Nenner wird immer größer, also gegen unendlich .. wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll weiß ich nicht wirklich ..falsch:   Der Nenner geht gegen unendlich und der Zähler ist beschränkt, also GW = 0

ii) ich habe n ausgeklammert und und die Folge ist konvergent mit dem Grenzwert 7/3
    (7n-1) / (3n) = (7-1/n) / 3      Du kannst hier kein = benutzen
=>   Der Grenzwert ist   (7-0)/3 = 7/3      OK.

iii) auch wieder Schrittweise ausgeklammert, quasi wie bei ii) mit dem Ergebnis konvergent mit
      dem Grenzwert 2/5    OK, achte aber auch hier auf die Schreibweise 

iiii) so da bin ich mir nicht wirklich sicher ob das so geht, ich habe den gemeinsamen Nenner bestimmt,
       anschließend den Term vereinfacht und wie bei ii) und iii) das Schrittweise ausgeklammert mit dem
       dem Ergebnis, dass die Folge konvergent ist und den Grenzwert -7 besitzt ..

So hätte ich es auch gemacht, aber nach dem Zusammenfassen der Brüche habe ich
( 2n³ - 3n² -2n - 6 )  /  ((n+1) - (n⁴+n² ) / (n² +n-3)  )

=( 2n³ - 3n² -2n - 6 )  /  ( n³ +2n² +4n +3 )    gibt Grenzwert  2

v) wie bei i) weiß ich das Vorgehen nicht, ..durch rumprobieren würde ich sagen das der Zähler wieder springt, diesmal aber nicht zwischen 1 und -1 sondern zwischen ∞ und -∞. Der Nenner geht ins positive unendlich ..also haben wir einen Bruch mit ∞/∞  bzw  -∞/∞. Jetzt müsste man die Regeln von l'Hospital anwenden habe ich recherchiert, aber das hatten wir in der VL noch nicht


Betrachte die Folgenglieder mit geradem n, die gehen gegen +1 und die Folgengleider

mit ungeradem n gehen gegen -1 . Wenn eine Folge zwei Teilfolgen mit unterschiedlichem

Grenzwert hat, ist sie nicht konvergent, 

Answer 2

i) ist nicht konvergent, da der Zähler quasi zwischen 1 und -1 springt, der Nenner wird immer größer, also gegen unendlich .. wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll weiß ich nicht wirklich .. 

mach eventuell mal eine Fallunterscheidung 

für gerade n gilt -->

für ungerade n gilt -->

Sind die Teilfolgen konvergent? 

ii) ist richtig

iii) kürze mit n^3

iv) bringe auf einen hauptnenner

v) kürze mit n und mache wie in i) eine Fallunterscheidung.