Folgen und deren Konvergenz. a0= 0 ,an+1= an+ q(1-an) , q∈ℝ und ...

Question

Welche der Folgen konvergieren? Geben sie den Grenzwert falls sie ex.

i)  a₀= 0  ,a_n+1= a_n+ q(1-a_n) , q∈ℝ

İi) a_n= c ∈ℝ

für jede Antwort ;)

Answer 1

ii)   Alle Folgengleider haben den gleichen Wert c, also ist das auch der Grenzwert.
Folge konvergiert gegen c

(i) Nimm an, dass es einen Grenzwert g  gibt und betrachte die
Rekursionsgleichung für n gegen unendlich.
Dann hast du
   g   =   g   +q (1-g)
also    0 = q  (1-g).      also   q=0     oder g=1
Dh für q = 0  konvergiert die Folge, offenbar sind alle
Folgenglieder 0 und damit g=0

oder   es muss g=1  sein.

Comments

Meiner Meinung nach divergiert die 2. Folge.

a₀=0

a₁=q

a₂= 2q-q^2

a₃=q^3 - q^2 +q

.....

a_n+1= a_n+ q(1- a_n)

Also: a_n= { 0,q,2q-q^2 , q^3 - q^2 +q....}

Wenn man für q =1 setzt hat man zwei häufungswerte 0 und 1.

Deswegen divergiert die Folge.

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Das Konvergenzverhalten lässt sich leichter aus der Darstellung   a_n  =  1 - (1-q)ⁿ  ablesen

(ohne die Frage, was denn  0⁰  sei, noch mal zu eröffnen).

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Das sieht der geometrischen reihe ähnlich.

Ist das die geometrische Reihe oder irre ich mich da jetz?