Aloha ;)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=\sqrt{3+2|a_n|}\quad;\quad a_0\in\mathbb R$$Wegen \(|a_0|\ge0\) gilt \(a_1=\sqrt{3+2|a_0|}\ge\sqrt{3+0}=\sqrt3\).
0) Vorbetrachtung:
Unabhängig von \(a_0\) ist also \(a_1\ge\sqrt3\). Weiter gilt in Abhängigkeit vom Startwert \(a_0\):$$|a_0|<3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$$$|a_0|=3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}=\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$$$|a_0|>3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$Wir können also den Wert \(a_1\) in Abhängigkeit von \(a_0\) wie folgt einschränken:$$\begin{array}{c}\sqrt3\le a_1<3 &\text{falls}& |a_0|<3\\a_1=3 &\text{falls}& |a_0|=3\\a_1>3 &\text{falls}& |a_0|>3\end{array}$$Nach diesen Überlegungen reicht es, die vereinfachte Folge zu betrachten:$$a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}\quad;\quad a_1\ge\sqrt3\;\land\;a_1\ne3$$Der triviale Fall \(|a_0|=3\) bzw. \(a_1=3\) führt auf die konstante Folge \(a_n=3\) mit Grenzwert \(3\). Deswegen brauchen wir diesen im Folgenden nicht weiter zu betrachten.
1) Monotnie:
1. Fall \(|a_0|<3\) bzw. \(a_1<3\): Die Folge ist streng monoton wachsend.
Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion. Die Verankerung ist klar, denn:$$a_2=\sqrt{3+2a_1}>\sqrt{a_1+2a_1}=\sqrt{3a_1}>\sqrt{a_1\cdot a_1}=a_1\implies a_2>a_1$$Im Induktionsschritt können wir also annehmen, dass \(a_{n+1}>a_n\) gilt:$$a_{n+1}>a_n\implies 3+2a_{n+1}>3+2a_n\implies a_{n+2}^2>a_{n+1}^2\implies a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark$$
2. Fall \(|a_0|>3\) bzw. \(a_1>3\): Die Folge ist streng monoton fallend.
Wir führen den Beweis wieder durch vollständige Induktion. Die Verankerung ist wie oben klar, denn:$$a_2=\sqrt{3+2a_1}<\sqrt{a_1+2a_1}=\sqrt{3a_1}<\sqrt{a_1\cdot a_1}=a_1\implies a_2<a_1$$Im Induktionsschritt können wir also annehmen, dass \(a_{n+1}<a_n\) gilt:$$a_{n+1}<a_n\implies 3+2a_{n+1}<3+2a_n\implies a_{n+2}^2<a_{n+1}^2\implies a_{n+2}<a_{n+1}\quad\checkmark$$
Wir fassen zusammen:$$(a_n)\text{ ist }\left\{\begin{array}{lcl}\text{streng monoton wachsend} & \text{falls} & a_1<3\\\text{streng monoton fallend} & \text{falls} & a_1>3\end{array}\right.$$
2) Beschränktheit:
1. Fall \(|a_0|<3\) bzw. \(a_1<3\): Es gilt \(a_1<a_n<3\)
Die Folge ist streng monoton wachsend, daher ist \(a_1\le a_n\) klar. Die Beschränkung nach oben \(a_n<3\) zeigen wir mit vollständiger Induktion.
Verankerung: \(a_2=\sqrt{3+2a_1}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark\)
Induktionsschritt: \(a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark\)
2. Fall \(|a_0|>3\) bzw. \(a_1>3\): Es gilt \(3<a_n<a_1\)
Die Folge ist streng monoton fallend, daher ist \(a_n<a_1\) klar. Die Beschränkung nach unten \(3<a_n\) zeigen wir wieder mit vollständiger Induktion.
Verankerung: \(a_2=\sqrt{3+2a_1}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark\)
Induktionsschritt: \(a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark\)
Die Folge \(a_n\) ist also sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt.
3) Grenzwert:
Jede monotone beschränkte Folge konvergiert, also auch \((a_n)\). Wegen der Grenzwertsätze und der Stetigkeit der Wurzelfunktion gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{3+2a_n}=\sqrt{3+2\cdot\lim\limits_{n\to\infty} a_n}$$Wir setzen \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) ein:$$a=\sqrt{3+2a}\implies a^2=3+2a\implies a^2-2a-3=0\implies(a-3)(a+1)=0$$$$\implies a=3$$Da alle Folgenglieder bis auf \(a_0\) positiv sind, kommt nur \(a=3\) als Grenzwert in Betracht.
Die Folge \((a_n)\) konvergiert unabhängig von Startwert \(a_0\) gegen \(a=3\).
