Du fängst also an und willst diese Ungleichung zeigen:
$$ a^2 \leq \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2$$
da a und b positiv sind gilt dies genau dann wenn
$$ a \leq \frac{2ab}{a+b} $$
ein wenig umformen
$$ a(a+b) \leq 2ab $$
$$ \Leftrightarrow a^2 \leq ab $$
$$\Leftrightarrow a \leq b $$
also stimmt die Gleichung, und Gleichheit gilt, wenn a = b.
Jetzt gehst du über und zeigst die nächste Ungleichung
$$ \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2 \leq ab $$ usw..