Induktionsbeweis von 2^n ≥ (n-1)'3 für n≥9 mit abschätzen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass 2_{n} ≥ (n - 1)^3 für n ≥ 9 gilt.

Zu beweisen per Induktion.

IA: n=9 bekomme ich 512 >= 512 passt.

IS: n=n+1:

2^{n+1} >= n^3

 <=>

 2 * 2^n >= n^3

(Abschätzen) => 2* (n-1)^3 >= n^3

<=>

2n^3-6n^2+6n-2 >= n^3 / -n^3

<=>

n^3-6n^2+6n-2 >= 0

Hat jemand eine Idee wie es weitergeht?

Comments

Schöne Alternative auch:

f(n) = n³-6n²+6n-2

hat  - auf IR betrachtet - für n>5 positive Ableitung ,

ist also str. mon. steigend und bei 5 ist der Wert  f(5) = 3

also ist für n>5 jedefalls f(n) > 3 > 0 .

Answer 1

<=>

n³-6n²+6n-2 >= 0

Hat jemand eine Idee wie es hier weitergeht?
Da  n³-6n²+6n-2 > n³-6n²+6n - 36= n^2 ( n-6) + 6*( n-6)
                                                      = ( n^2 + 6) * ( n-6 )
Beide Faktoren > 0 ( da n>=9 ) also Produkt > 0.