Hallo Sonnnblume,
die Aufgabe ist ein wenig tricky. Ich habe eine Lösung gefunden, die aus drei Schritten besteht. Wobei ich davon ausgehen dass \(n,m \in \mathbb{N}\)
1.Schritt: bringe alles unter einen Logarithmus, durch folgende Umformung der linken Seite:
$$m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - m \\ \begin{aligned} \space &= m \left( \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - \ln e\right) \\ &= m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{e \cdot m}\right)} \\ & = \ln{\left( \left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^m\right)} \end{aligned}$$ da der Logarithmus stetig monoton steigend ist, reicht es daher aus zu zeigen, dass
$$\left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^m \le {m + n \choose m}$$
2. Schritt: Zeige unter der Voraussetzung, obige Ungleichung gilt, dass sie auch für \( m \rightarrow m+1\) korrekt ist. Dazu ersetze ich \(m\) durch \(m+1\): $$\left( \frac{m+1+n}{e \cdot (m+1)} \right)^{m+1} \le {m +1 + n \choose m + 1} = {m + n \choose m} \cdot \frac{m+1+n}{m+1}$$ Jetzt ist aber $$\frac{m+1+n}{e \cdot (m+1)} \lt \frac{m+n}{e \cdot m}$$ (das zu zeigen, schaffst Du allein). Und somit reicht es wieder zu zeigen, dass
$$\left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^{m} \cdot \left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right) \le {m + n \choose m} \cdot \frac{m+1+n}{m+1}$$ Wenn ich nun annehme, dass die Ausgangsungleichung erfüllt ist, dann ist diese Ungleichung erfüllt, wenn
$$\frac{m+n}{e \cdot m} \le \frac{m+1+n}{m+1}$$
(das schaffst Du wieder allein) ;-)
Was hat das jetzt gebracht? Ich habe gezeigt, dass die Ungleichung für \(m+1\) gilt, wenn sie für \(m\) gilt. Oder umgekehrt, wenn die Ungleichung für \(m=1\) gilt, dann gilt sie auch für \(m=2\). Und wenn sie für \(m=2\) gilt, dann auch für \(m=3\) usw. also für alle \(m \in \mathbb{N}\). Bleibt nur noch:
3. Schritt: Zeige, dass die Ungleichung für \(m=1\) gilt (und das ist einfach)
$$ \frac{1+n}{e} \le {1 + n \choose 1} = n+1$$ q.e.d.
