Abschätzen von "Kettenungleichungen"

Question

Aufgabe:

Es sei \( 0<a \leq b \). Man zeige

\( a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} \)

Trifft an irgendeiner Stelle dieser Ungleichungskette das Gleichheitszeichen \( \mathrm{zu} \), so ist \( a=b \).

Answer 1

Du hast da

P ≤ Q ≤ R ≤ S ≤ T

Zeige nun durch umformen, dass aus jeder der Gleichungen

P=Q,

Q=R,

R=S,

S = T.

folgt, dass a=b.

Erinnere dich (wenn nötig) daran, dass a und b positiv sind.

Answer 2

zeige jede Ungleichung einzeln, bzw. die Gleichheit bei a = b.

Fange am besten von einer Seite aus an und arbeite dich fort.

Zum Beispiel von rechts nach links

Da \( a \leq b \) gilt \( a+ b \leq 2b \) und somit

$$ \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \leq b^2$$

Gleichheit zeigst du wenn du die Ungleichung durch eine Gleichung ersetzt.

Gruß

Comments

Komme leider nicht sehr weit.

Habe nun sowas stehen:

(2ab/a+b)^2  - a < ab - (a+b/2)^2 +b^2

Ist das soweit in Ordnung?

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Welche Ungleichung willst du denn grade zeigen?

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Versuche beide seiten als eine Gleichung zu kriegen damit es leiter lösbar ist :(

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Welche beiden Seiten....schreib den ganzen Rechenweg auf oder stell ein Foto rein. Man kann dir nicht wirklich folgen...

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a^2 < (2ab/a+b)^2<ab<(a+b/2)^2<b^2

<=> a^2 <(2ab/a+b)^2 <ab< (a+b/2)^2 - b^2

<=> a^2< (2ab/a+b)^2<ab - (a+b/2)^2 + b^2

<=>  (2ab/a+b)^2 -a < ab - (a+b/2)^2 +b^2

...

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Ich wiederhole mich ungern, aber bitte teil die Ungleichungskette in einzelne Ungleichungen auf wie ich dir das beispielsweise oben gezeigt habe. Dein Versuch die Ungleichungen in einer Ungleichung zu schreiben machen keinen Sinn und die Umformungen die du gemacht hast sind so nicht möglich.

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Hmm meinst du vielleicht so:

a^2 < (2ab/a+b)^2

.

.

.

a^2 < 3b^2 - 2ab

???

Und dann die andere Seite?

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Du fängst also an und willst diese Ungleichung zeigen:

$$ a^2 \leq \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2$$

da a und b positiv sind gilt dies genau dann wenn

$$ a \leq \frac{2ab}{a+b} $$

ein wenig umformen

$$ a(a+b) \leq 2ab $$

$$ \Leftrightarrow a^2 \leq ab $$

$$\Leftrightarrow  a \leq b $$

also stimmt die Gleichung, und Gleichheit gilt, wenn a = b.

Jetzt gehst du über und zeigst die nächste Ungleichung

$$ \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2 \leq ab $$ usw..