Geg f: y=1/8(x^3-6x^2+32) und g:x-2y=-2. Beh: Die von f und g eingeschlossenen Flächenstücke sind gleich gross.

Question

Gegeben sind 2 Funktionen

f: y=1/8(x³-6x²+32) und g: x-2y=-2

(ich weiss die Funktion f(x) haben wir schon berechnet ich bräuchte aber bitte noch Hilfe bei b und c sowie bei den Ableitungen.

a.) Funktion diskutieren und Graphen zeichnen

b.) soll zeigen dass beide Funktionen den gleichen Flächeninhalt haben

Präzision: Man soll zeigen, dass die beiden zwischen den Kurven eingeschlossenen Flächenstücke den gleichen Flächeninhalt haben.

c.)Zeige am Beispiel der Funktion f:y=cos Alpha die Notwendigkeit der Berechnung der Nullstellen bei Berechnung des Flächeninhalts im Intervall[0;2pi] Erkläre in Worten

Meine Extremstellen  x=0 und x=32 stimmt das?

Nullstellen hatten wir schon ausgerechnet  diese waren x= -2 , x= 4  ( doppelte Nullstelle ) also eine relative Extremstelle ?!?!

Comments

b.) soll zeigen dass beide Funktionen den gleichen Flächeninhalt haben

Funktionen haben eigentlich keinen Flächeninhalt. Da muss man präziser fragen.

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f(x) = x^3/8 - 3·x^2/4 + 4

g(x) = x/2 + 1

a.) Funktion diskutieren und Graphen zeichnen

Was kannst du nicht ? Selbst wenn ich keine Ahnung von einer Kurvendiskussion habe kann ich mit einer kleinen Wertetabelle den Graphen zeichnen.

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sind meine Extremstellen korrekt ?

ich muss in das x bei beiden Funktionen 1,2,3, 4,5 einsetzen oder??

Answer 1

c.) Zeige am Beispiel der Funktion f:y=cos Alpha die Notwendigkeit der Berechnung der Nullstellen bei Berechnung des Flächeninhalts im Intervall[0;2pi] Erkläre in Worten

$$ \int _{ 0 }^{ 2π }{ cos\quad a\quad da\quad =\quad sin\quad a\quad |\overset { 2π }{ \underset { 0 }{ \quad }  }  } \\ =\quad sin(2π)\quad -\quad sin(0)\quad =\quad 0-0\quad =0\\ \int _{ π/2 }^{ 3π/2 }{ cos\quad a\quad da\quad =\quad sin\quad a\quad |\overset { 3π/2 }{ \underset { π/2 }{ \quad }  }  } \\ =\quad sin(3π/2)\quad -\quad sin(π/2)\quad =\quad (-1)-1\quad =-2 $$

Da cos teilweise unter der x-Achse verläuft (symmetrische Bogen) und über eine Periodenlänge integriert wird, komm einfach 0 raus.

Will man die Fläche zwischen Kurve und x-Achse, darf man nicht über Nullstellen hinweg integrieren, da unterhalb der x-Achse das bestimmte Integral neg. Werte hat. Die 2. Rechnung von π/2 bis 3π/2 illustriert das.

Jedes durch x-Achse und cos(x) eingeschlossene Flächestück zw. x-Achse und cos(x) hat daher die Fläche 2. 2 zusammen besitzen die Fläche 2.

Comments

danke und die Aufgaben a und b.)

ich möchte wissen ob meine Extremstellen richtig sind

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Nein. Sind sie nicht. Das siehst du doch allein wenn du dir eine Skizze machst

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wohe weiß ic hdas ich mit 3pi und pi/2 integrieren muss ?

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Kurze Gegenfrage: Hast du gerade die Schule gewechselt. Oder wieso kommst du zu solchen Aufgaben, bei denen dir offenbar die Theorie fehlt?

π/2 und 3π/2 sind die Nullstellen von cos im Intervall [0,2π].

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Nein ich schreibe in einem Monat Matura zum Nebentermin

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könnte mir noch jemand bei den Flächen helfen und bei der Wendetangente

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habe probiert die ´Wendetangente alleine zu errechnen ich komme auf-3/2x+ 5

Wendepunkt (2/2) und Extremstelle 4

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die Tangente muss immer durch den Wendepunkt gehen oder? wie zeichne ich die andere Funktion ein die g(x)

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Ich bin heute Nachmittag weg. Schaue vielleicht später nochmals vorbei. Gib bis dann bitte noch die genaue Version der Frage zu b) an.

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b) Die Funktionen umschließen zwei Flächen. Vielleicht sollen die gleich groß sein.

d(x) = f(x) - g(x) = 1/8·(x^3 - 6·x^2 + 32) - (x/2 + 1)
d(x) = x^3/8 - 3·x^2/4 - x/2 + 3
D(x) = x^4/32 - x^3/4 - x^2/4 + 3·x

d(x) = 0
x = 6 ∨ x = -2 ∨ x = 2

D(2) - D(-2) = 8

D(6) - D(2) = -8

Damit sind die beiden Flächen gleich groß.

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Danke Mathecoach. Ich formuliere mal b) so um, dass deine Lösung passt.

g ist eine Gerade und hat keine spezielle Wendetangente (ausser eventuell sich selbst).

Für die Wendetangente von f braucht man die Wendestelle, den Wendepunkt und die Steigung im Wendepunkt.

f: y=1/8(x³-6x²+32) 

y' = 1/8 (3x^2 - 12x)

y' ' = 1/8 (6x - 12)          

1/8 (6x - 12) = 0 gdw. x = 2.

f(2)=1/8(2³-6*2²+32) = 1/8(8 -24 + 32) = 1/8(16) = 3.5  . W(2|2)

f ' (2) = 1/8(3*2^2 - 12*2) = 1/8 (12 - 24) = 1/8 (-12) = -1.5

t: y = -1.5x + q

W einsetzen 2 = -1.5*2 + q

5 = q

t: y = -1.5x + 5

Kontrolle: Graph (folgt)