Eingeschlossene Flächen durch Integration berechnen: Volumen von Wippe und Fischlogo

Question

Aufgabe 21 - Fischlogo:

Mac Fish plant als Firmenlogo für die Fenster ein transparentes Symbol. Ein Designer liefer den Entwurf:

a) Bestimmen Sie die Parabelgleichungen \( f \) und \( g \).

b) Welchen Inhalt A hat das Logo?

c) Das Logo lässt nur des Lichtes durch. Wie stark reduziert sich der Lichteinfall des gesamten Fensters?

d) In welchem Bereich ist das Logo mindestens 25 cm hoch?

Aufgabe 25 - Wippe:

Eine Wippe aus Kunststoff hat die abgebildete Form:

\( f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c \)
\( g(x)=u x^{2} \)

Obere und untere Berandung können durch Polynome 4. Grades bzw. \( 2 . \) Grades erfasst werden. Die obere Randkurve läuft horizontal aus. Die Breite der Sitzfliche beträgt \( 30 \mathrm{cm} \)

a) Wie lauten die Gleichungen der Randkurven \( f \) und \( g ? \)

b) Wie groß ist die Masse der Wippe? (Dichte Kunststoff: \( 0,2 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} \) )

Comments

Beim Ersten solltest du das Integral von (f(x) - g(x)) berechnen von x=-10 bis x=10.

Bei den andern Figuren musst du die Schnittstellen bestimmen.

Leider ist der Text schlecht lesbar. Schreib ihn vielleicht noch ab, oder beachte die ähnlichen Fragen und poste deinen Anfang als Kommentar zur Frage.

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Ich habe ja die aufgaben schon berechnet, nur vermute ich mal das mein Rechnungsweg falsch ist!

Deswegen wollte ich ja gerne einen Lösungsweg haben wo ich dann herausfinde was ich falsch berechnet habe >_<

Zum Fischlogo hätte ich anzubieten..
f(x) = ax³ + bx² + cx + d , und f'(x) = 3ax² + 2bx + c , mit )35(0 / ist f(0) = d = 5/3, (4)mit (-1/0) ist (I) f(-1) = - a + b - c + 5/3 = 0 ;

mit f '(0) = m = c = 3 und (II) f'(-1) = 3a - 2b + c = 0 (Ex) (6)ist - a + b - 3 + 5/3 = 0

 b = a + 4/3 in (II) 3a - 2 ( a + 4/3) + 3 = 0
a = - 1/3 ; b = 1 (6)also der Funktionsterm: f(x) = -1/3 x³ + x² + 3x + 5/3


kann das stimmen?

P:s Würde ich hier nach Hilfe fragen, wenn ich NICHT schon selber die Aufgabe berechnet habe und festgestellt habe, dass ich sie nicht verstehe bzw, nicht kann? - Ich glaub nicht oder !?!!!

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Hallo Sweety_Charlotte, 

ich habe jetzt keine Zeit, kann Dir aber für das Fischlogo vielleicht folgende Tipps geben:

 

a)

f(x) lässt sich sicherlich als quadratische Funktion beschreiben:

f(x) = ax² + bx + c

und g(x) ebenfalls:

g(x) = ax² + bx + c

Wenn ich das Bild richtig interpretiere, gilt

f(4) = g(4) = 0

f(-4) = g(-4) = 0

f(0) = 2

g(0) = -3

Daraus sollten sich die Funktionsgleichungen aufstellen lassen.

 

b)

f(x) - g(x) berechnen und zu dieser Resultierenden die Stammfunktion bilden.

Damit die Flächen berechnen.

 

c)

Fläche des Rechtecks minus halbe Fläche des Logos sollte die Reduzierung des Lichteinfalls ergeben.

Beispiel:

Rechteck = 45 dm² - 20 dm² / 2 (20 dm² = geratene Größe des Logos) = 35 dm²

35/45 = 7/9 = 0,77777...

1 - 0,77777.... = 0,22222....

In diesem Beispiel hätte man also eine Reduzierung des Lichteinfalls von ca. 22,22%

 

d)

f(x) - g(x) ≥ 2,5 dm

Answer 1

21

a)
f(4) = -a(4)² + 2 = 0
a = 1/8
f(x)  = -1/8 x² + 2

g(4) = b(4)² - 3 = 0
b = 3/16
g(x) = 3/16 x² - 3

dazu gibt es nicht viel zu erklären, oder?

das fischauge kannst du ja noch einmalen :D

25

a)
vorgegeben ist die funktion f(x) = ax^4 + bx^2 + c
als obere berandung der wippe.
wir werden die koeffizienten a, b und c
berechnen müssen.
die punkte, durch die f(x) gehen muss, kann man der
zeichnung entnehmen. wir stellen gleichungen auf
und schauen, was wir mit ihnen anfangen können.

1.5 = a(2)^4 + b(2)^2 + c
1.5 = 16a + 4b + c         I

1.5 = a(-2)^4 + b(-2)^2 + c
1.5 = 16a + 4b + c         II

gleichungen I und II sind linear abhängig, gleichung
II gibt uns also keine neuen Infos.

1 = a(0)^4 + b(0)^2 + c -> c = 1
eine unbekannte kennen wir also bereits.
bleiben noch zwei unbekannte, a und b.
um sie berechnen zu können, brauchen wir zwei gleichungen.
eine haben wir bereits: I

die zweite gleichung bekommen wir aus der info, dass
die obere randkurve horizontal ausläuft, d.h. die
ableitungen von f(x) an der stelle -2 und 2 sind null.

f'(x) = 4ax^3 + 2bx
f'(x) = 0 = 4a(2)^3 + 2b(2)
f'(x) = 0 = 32a + 4b        III

16a + 4b + 1 = 1.5        I
32a + 4b = 0            III

die lösung berechnen wir und erhalten
a = -1/32, b = 1/4
damit haben wir f(x) bestimmt.
f(x) = -1/32 x⁴ + 1/4 x² + 1

fehlt noch g(x)
g(x) = ux²
g(2) = u(2)² = 1.5
u = 3/8
g(x) = 3/8 x²

 

jetzt haben wir f(x) und g(x), damit können wir die fläche der wippe,
ihr volumen und schließlich ihre masse berechnen.

gruß
gorgar